2018年の一橋大学の整数問題は第１問として出題されました。昨年のセットは例年とは傾向が少し変わっていましたが、今年は例年通りの一橋数学だったと思います。ただ、相変わらず難度は控え目の出題でした。
《問題》
正の整数 $n$ の各位の数の和を $S(n)$ で表す。たとえば$$S(3)=3,\ S(10)=1+0=1,\ S(516)=5+1+6=12$$である。
（１）$n \geqq 10000$ のとき、不等式 $n>30S(n)+2018$ を示せ。
（２）$n=30S(n)+2018$ を満たす $n$ 求めよ。
（一橋大学2018年 第１問）
《考え方》
一橋大前期の整数問題において、整数の各位の数の和をテーマにした問題が出題されたのは恐らく初めてのことです（もしかしたら後期試験を含めても初めてかもしれません）。今年の西暦$2018$の数字が入っている「年号問題」です。因みに、$2015$年と$2013$年にも年号の数字を含む整数問題が出題されています。
今年が平成「$30$」年で西暦「$2018$」年であることに因んだなかなか乙な問題ですね。
● ● ●
（１）ですが、各位の数字の和を文字で置いても良いのですが、不等式で示すのが簡明でしょう。
$n$が$k$桁の数だとすると、不等式$$1 \leqq S(n) \leqq \underbrace{9+9+\cdots+9}_{k個}=9k$$が成立します。これより、$$30S(n)+2018 \leqq 270k+2018$$となります。$n$は$k$桁の数なので$$10^{k-1} \leqq n$$が成立します。したがって与不等式が成り立つことを示すには、$k \geqq 5$ において$$270k+2018<10^{k-1} \tag*{･･･(★)}$$が成立することを示せばよいことになります。
$k=5$ のとき$$1350+2018<10^4$$となり成立しています。
$k=m$（$m\ \ (\geqq 6)$は整数）のとき$(★)$が成立すると仮定し、両辺に$10$を掛けると、$$2700m+20180<10^{m}$$となります。$$270(m+1)+2018<2700m+20180$$ですから、$(★)$は $k=m+1$ のときでも成立します。したがって帰納法により、$5$以上の$k$について$(★)$が成立することが示されるので、$n \geqq 10000$ のとき、不等式$$n>30S(n)+2018$$が成立することが示されます。
● ● ●
（１）より、$n \geqq 10000$ のとき等式$$n=30S(n)+2018 \tag*{･･･(☆)}$$が成立することはありません。また、$n$が$2018$より小さい場合も$(☆)$が成立しません。これより、$$2018<n<10000$$が必要で、このとき$$3 \leqq S(n) \leqq 9+9+9+9=36$$となります。したがって$(☆)$の右辺について、$$2108 \leqq 30S(n)+2018 \leqq 3098$$となります。これより$$4 \leqq S(n) \leqq 29$$を得ます。同様に$(☆)$の右辺について、$$2138 \leqq 30S(n)+2018 \leqq 2888$$となります。これより$$4 \leqq S(n) \leqq 26$$を得るので、$$2138 \leqq 30S(n)+2018 \leqq 2798$$となります（※この方法でこれ以上不等式を改良することはできません）。
これより、$n$の千の位の数字は$2$と求められます。ここで$n$の下$3$桁を $100a+10b+c$（$a$は $1 \leqq a \leqq 7$ を満たす整数、$b$、$c$はともに $0 \leqq a \leqq 9$ までの整数）と置くと、$(☆)$は$$2000+100a+10b+c=30(2+a+b+c)+2018$$ $$\therefore 100a+10b+c=30a+30b+30c+78$$ $$\therefore 70a-20b=29c+78$$ $$\therefore 10(7a-2b)=29c+78$$と整理できます。左辺が$10$の倍数なので $c=8$ に限られ、これを代入して整理すると$$7a-2b=31$$となります。これより$a$は奇数であり、$7a \geqq 31$ が必要なので $a=5$ または $7$ に限られます。
$a=5$ のとき $b=2$、$a=7$ のとき $b=9$ となります。$2528$ および $2798$ は確かに等式$(☆)$を満たすので、求める整数は$$\color{red}{2528,\ 2798}$$です。
（コメント）
昨年の３元２次連立方程式の整数問題よりは少し難しくしたのかもしれませんが、一橋大の数学としては簡単な部類に属するでしょう。最近の一橋数学の整数問題は易化傾向にありますね･･･。こうした各位の和に関する問題は難関高校の入試数学に多いイメージがあります。下手すると本問も高校入試として通用するレベルかもしれません。
なお、うろ覚えですが、つい最近の一橋オープン（河合塾）に類題があったような気がします。
よく知られているように，$S(n)\equiv n\ (\mod\,9)$ が成り立ちます．
これより，(2)で与えられた条件式から，
\[n\equiv30n+2018\ (\mod\,9)\]
となり，
$-2n\equiv2\ (\mod\,9)$ から $n\equiv S(n)\equiv8\ (\mod\,9)$
です．これを用いると(2)は効率が良いと思います．
(不等式の範囲を狭めることはそこそこにしても，
以下のように効率的な解答が可能です．)
(1)より $n<10000$ に限ることに注意すると，$S(n)\leqq36.$
$S(n)\equiv8\ (\mod\,9)$ から，
\[S(n)=8,\ 17,\ 26,\ 35\]
と候補を絞ることができ，
$n=30S(n)+2018$ の右辺を計算して，$n$ の候補は
\[n=2258,\ 2528,\ 2798,\ 3068.\]
$n$ と $S(n)$ の整合性があるものを選んで，
\[n=2528,\ 2798.\]
たけちゃん さん
コメントありがとうございます。
本問のようなタイプの問題では$$S(n)\equiv n \pmod{9}$$は重要な関係式ですね。解答例のように不等式のみで絞り込んでも良いでしょうが、たけちゃん さんが示された通り、$9$を法として考えればスマートに解答できますね。
この方法では$n$の各位の数を文字で置く必要が無いので、$$n^2=30S(n)+2018$$や、$$n=30{S(n)}^2+2018$$などの場合（これらの等式には解がありませんが）でも有力な方法に思います。
ご教示に感謝致します。