2018年の一橋大学の整数問題は第1問として出題されました。昨年のセットは例年とは傾向が少し変わっていましたが、今年は例年通りの一橋数学だったと思います。ただ、相変わらず難度は控え目の出題でした。
《問題》
正の整数 の各位の数の和を で表す。たとえばである。
(1) のとき、不等式 を示せ。
(2) を満たす 求めよ。
(一橋大学2018年 第1問)
《考え方》
一橋大前期の整数問題において、整数の各位の数の和をテーマにした問題が出題されたのは恐らく初めてのことです(もしかしたら後期試験を含めても初めてかもしれません)。今年の西暦の数字が入っている「年号問題」です。因みに、年と年にも年号の数字を含む整数問題が出題されています。
今年が平成「」年で西暦「」年であることに因んだなかなか乙な問題ですね。
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(1)ですが、各位の数字の和を文字で置いても良いのですが、不等式で示すのが簡明でしょう。
が桁の数だとすると、不等式が成立します。これより、となります。は桁の数なのでが成立します。したがって与不等式が成り立つことを示すには、 においてが成立することを示せばよいことになります。
のときとなり成立しています。
(は整数)のときが成立すると仮定し、両辺にを掛けると、となります。ですから、は のときでも成立します。したがって帰納法により、以上のについてが成立することが示されるので、 のとき、不等式が成立することが示されます。
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(1)より、 のとき等式が成立することはありません。また、がより小さい場合もが成立しません。これより、が必要で、このときとなります。したがっての右辺について、となります。これよりを得ます。同様にの右辺について、となります。これよりを得るので、となります(※この方法でこれ以上不等式を改良することはできません)。
これより、の千の位の数字はと求められます。ここでの下桁を (は を満たす整数、、はともに までの整数)と置くと、は と整理できます。左辺がの倍数なので に限られ、これを代入して整理するととなります。これよりは奇数であり、 が必要なので または に限られます。
のとき 、 のとき となります。 および は確かに等式を満たすので、求める整数はです。
(コメント)
昨年の3元2次連立方程式の整数問題よりは少し難しくしたのかもしれませんが、一橋大の数学としては簡単な部類に属するでしょう。最近の一橋数学の整数問題は易化傾向にありますね・・・。こうした各位の和に関する問題は難関高校の入試数学に多いイメージがあります。下手すると本問も高校入試として通用するレベルかもしれません。
なお、うろ覚えですが、つい最近の一橋オープン(河合塾)に類題があったような気がします。
よく知られているように, が成り立ちます.
から
これより,(2)で与えられた条件式から,
となり,
です.これを用いると(2)は効率が良いと思います.
(不等式の範囲を狭めることはそこそこにしても,
以下のように効率的な解答が可能です.)
(1)より に限ることに注意すると,
から,
の右辺を計算して, の候補は
と候補を絞ることができ,
たけちゃん さん
コメントありがとうございます。
本問のようなタイプの問題では は重要な関係式ですね。解答例のように不等式のみで絞り込んでも良いでしょうが、たけちゃん さんが示された通り、 を法として考えればスマートに解答できますね。 の各位の数を文字で置く必要が無いので、 や、 などの場合(これらの等式には解がありませんが)でも有力な方法に思います。
この方法では
ご教示に感謝致します。