三角形の辺に関連する整数問題（大阪医科大学2019年前期数学第1問）

“三角形の辺に関連する整数問題（大阪医科大学2019年前期数学第1問）” への2件の返信

1. 3数がすべて互いに素な場合の生成式について、1つの角が120度の場合はコメントの通りで大丈夫だと思いますが、60度の場合(m+nが3の倍数のとき)はm^2-mn+n^2、2mn－n^2、m^2-n^2を3で割らないとできない三角形があるようです。

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2. 廣津 孝さん
   コメント頂き、ありがとうございます。

   $$\begin{array}{rl}{m}^2-mn+n^2& =(m+n{)}^2-3mn\\ 2mn-n^2& =2n(m+n)-3n^2\\ m^2-n^2& =(m+n)(m-n)\end{array}$$であり、$m+n$ が$3$の倍数の場合は全ての辺の長さが$3$の倍数となるので、$3$で割らなければならないということですね。

   最も簡単な例を挙げると、$m=2$、$n=1$ のとき各辺の長さが$3$の正三角形を与えますが、各辺の長さが$1$の正三角形はどのような$(m,n)$の組に対してもこれらの一般式からは得られません。
   このような場合のために、$m+n$ が$3$の倍数の場合には既約な「ナゴヤ三角形」を得るために$3$で割る必要がある、ということのようです。

   また「アイゼンシュタイン三角形」についても（まだよく確認していませんが）互いに素な整数組$(m,n)$に対して周期的に$3$が公約数として出現しているようです。

   素因数の分布に関しては既によく調べられていそうな気がします。この辺りの話題は複素数平面とも絡んでくるので面白いですね。

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