九州大学2018年理系数学第４問

解答例

 

（１）

まず仮定より、整数$a$、$b$は$3$の倍数でないので、$$\begin{cases} a \equiv \pm 1 \pmod{3} \\ b \equiv \pm 1 \pmod{3} \end{cases}$$と置くことができます。この２式の各辺を二乗すると$$\begin{cases} a^2 \equiv 1 \pmod{3} \\ b^2 \equiv 1 \pmod{3} \end{cases}$$となります。いま、$$f(1)=a^2+2b^2+3$$なので、これは$\bmod{3}$ において$$\begin{align} a^2+2b^2+3 &\equiv 1+2+3 \\ &\equiv 0 \end{align}$$と計算できます。よって$f(1)$を$3$で割った余りは $\color{red}{0}$ です。$f(2)$についても同様に、$$f(2)=4a^2+4b^2+17$$なので$\bmod{3}$ において$$\begin{align} 4a^2+4b^2+17 &\equiv a^2+b^2+2 \\ &\equiv 1+1+2 \\ &\equiv 1 \end{align}$$と計算できます。よって$f(2)$を$3$で割った余りは $\color{red}{1}$ です。

 

 

（２）

$f(x)=0$ より、$$2x^3+a^2x^2+2b^2x+1=0$$ $$\therefore (2x^2+a^2x+2b^2)x=-1$$となります。$x$が整数のとき $2x^2+a^2x+2b^2$ は整数なので、$x=\pm 1$ に限られますが、$x=1$ のとき、$$2+a^2+2b^2=-1$$となり左辺が正、右辺が負となり不合理です。また $x=-1$ のとき、$$2-a^2+2b^2=1$$ $$\therefore 2b^2+1=a^2$$となりますが、$b^2 \equiv 1 \pmod{3}$ より左辺は$3$の倍数となりますが、右辺の$a^2$は$3$の倍数でないので不合理です。したがって $f(x)=0$ を満たす整数 $x$ は存在しないことが示されました。

 

 

（３）

互いに素な整数$p$、$q$（ただし$q$は正）を用いて任意の有理数を$\dfrac{p}{q}$と表すことができます。これより、$x=\dfrac{p}{q}$ と置くと $f(x)=0$ より、$$2p^3+a^2p^2q+2b^2pq^3+q^3=0$$ $$\therefore 2p^3=-q(a^2p^2+2b^2pq+q^2)$$となります。これより、$q$は$2p^3$の約数となりますが、$p$、$q$は互いに素なので $q=1$ または $q=2$ に限られます。ここで（１）より、$f(x)=0$ を満たすような整数$x$は存在しないので $q=2$ に限ります。よって $q=2$ を代入すると、$$p^3=-a^2p^2-4b^2p-4$$ $$\therefore p(p^2+a^2p+4b^2)=-4$$となり、$p$が$4$の約数であることが分かります。$p$、$q$は互いに素なので$p$が偶数となることはありません。よって$$p= \pm 1$$と候補を絞ることができます。

 

ア）$p=1$ のとき$$1+a^2+4b^2=-4$$となり、左辺が正、右辺が負なので不合理。よって不適です。

 

イ）$p=-1$ のとき$$1-a^2+4b^2=4$$ $$\therefore (2b-a)(2b+a)=3$$となります。これより

$(a,\ b)=(\pm 1,\ \pm 1)$　（複号任意）

を得ますが、これらは確かに$3$の倍数ではないという条件を満たしているので適しています。

 

以上より、求める整数の組 $(a,\ b)$ は

$(a,\ b)=(\pm 1,\ \pm 1)$　（複号任意）

となります。