二重根号を外す色々な方法（3乗根含む）

二重根号を外す操作は高校の数Ⅰの範囲ですが、大学入試や数検で頻出であり、数検1級に至っては3乗根の二重根号を外す問題が出題されることもあります。今回はこういった問題への対策として、二重根号を外す色々な方法をまとめてみました！ ブックマーク推奨です！

 二重根号って何だっけ？

二重根号というのは例えば次のような数の表し方を指します。$$\sqrt{7-2 \sqrt{12}}$$「二重」に「根号」（＝ルート）が付いているので「二重根号」と呼んでいる訳です。次のように3乗根を含む場合もあり得ます。$$\sqrt[3]{5 \sqrt{2}- 7}$$試験問題ではまずお目にかかることはありませんが、4乗根を含む場合も考えられます。$$\sqrt[4]{17- 12\sqrt{2}}$$

 外せる二重根号と外せない二重根号

それでは本題に入りましょう！

実は先ほどに挙げた３つの二重根号はいずれも外すことができます。例えば、$$\small \begin{align} \sqrt{7-2 \sqrt{12}} &= \sqrt{4-2 \sqrt{4\cdot 3}+3} \\
&= \sqrt{(\sqrt{4}-\sqrt{3})^2} \\
&= \sqrt{4}-\sqrt{3} \\
&= 2-\sqrt{3}
\end{align}$$とすることで二重根号を解除でき、$$\small \begin{align} \sqrt[3]{5 \sqrt{2}- 7} &= \sqrt[3]{(\sqrt{2}-1)^3} \\
&= \sqrt{2}-1
\end{align}$$ $$\small \begin{align} \sqrt[4]{17- 12\sqrt{2}} &= \sqrt[4]{(\sqrt{2}-1)^4} \\
&= \sqrt{2}-1
\end{align}$$と二重根号が外れた形で書き直すことができます。

世の中の二重根号には外せるものと外せないものが存在します。$\sqrt{7-2 \sqrt{12}}$ の二重根号は例外的に外せますが、$\sqrt{\sqrt{3}-1}$ の場合は外せません。その違いは中身が平方の形で表せるかどうかによります。

$7-2 \sqrt{12}$ は $(2-\sqrt{3})^2$ と変形できますが、$\sqrt{3}-1$ は平方の形に変形することができません。したがって $\sqrt{\sqrt{3}-1}$ の二重根号は外せません。

一般に、ある式が平方 (整数乗) の形に式変形できるかどうかを完璧に見分ける方法^*1は知られていません。そのため、二重根号を外すにはある程度の試行錯誤が必要になります。

*1. 判別式を用いる簡便法＆式変形で多項式を作って確かめる簡便法なら知られています。これについては後述します。

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 2乗根の二重根号を外す方法

2重根号は和が$p$、積が$q$になる２つの数$a,b$ ($a>b>0$) を見つけて以下のように変形します。$$\small \begin{array}{l}
\sqrt{p+2 \sqrt{q}}=\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}}=\sqrt{a}+\sqrt{b} \\
\sqrt{p-2 \sqrt{q}}=\sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}
\end{array}$$中の$\sqrt{\text{ }}$の係数に$2$が無いときは無理やり作ります。$$\begin{align}
\sqrt{5+\sqrt{21}} &=\sqrt{\dfrac{10+2 \sqrt{21}}{2}} \\ &=\dfrac{\sqrt{10+2 \sqrt{21}}}{\sqrt{2}} \\ &=\dfrac{\sqrt{(\sqrt{7}+\sqrt{3})^2}}{\sqrt{2}} \\ &=\dfrac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \\ &=\dfrac{\sqrt{14}+\sqrt{6}}{2}
\end{align}$$

係数が$2$の倍数のときは余分な因数を根号の中に押し込みます。$$\begin{aligned}
\sqrt{16+6 \sqrt{7}} &=\sqrt{16+2 \sqrt{63}} \\
&=\sqrt{(\sqrt{9}+\sqrt{7})^2} \\
&=\sqrt{9}+\sqrt{7} \\
&=3+\sqrt{7}
\end{aligned}$$

 3乗根の二重根号を外す方法

ここが今回の記事で一番読んで頂きたいセクションです！

3乗根の二重根号を外すのは2乗根のときに比べて格段に難しいです。幾つかの方法を紹介します。

この中で言うと②の方針が最も簡明だと思います。

ここでは、これらの方法で$$\sqrt[3]{5 \sqrt{2}- 7}$$の二重根号を外してみようと思います。

① $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ の形を予想して方程式を作る

◎この方法は計算が複雑になることがあるので要注意です。

この方法では最初に$$\small \sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}=a+b\sqrt{2}$$の形に変形できるとアタリをつけます。根号の中に$\sqrt{2}$が含まれているので、二重根号を外したときにも表れるはずだ、というのが根拠です。

ここからの計算がちょっと大変です。まず両辺を3乗して以下のように整理します。$$\small 5 \sqrt{2}-7 = a^3 + 3 a^2 b \sqrt{2} + 6 a b^2 + 2 b^3 \sqrt{2}$$ $$\small \therefore \left(a^{3}+6 a b^{2}+7\right)+\sqrt{2}\left(3 a^{2} b+2 b^{3}-5\right)=0$$ここで左辺と右辺の係数を比較して２本の方程式を得ます。$$\small \left\{\begin{array}{l}a^{3}+6 a b^{2}+7=0 \\ 3 a^{2} b+2 b^{3}-5=0\end{array}\right. \quad \cdots (*)$$未知数が二つに対して方程式が2本あるので、$a$と$b$は求めることができます。ここで定数項を消去するように変形すると以下の方程式が得られます。$$\small 5 a^{3}+21 a^{2} b+30 a b^{2}+14 b^{3}=0$$ここで両辺を$b^3$で割ると$$\small 5 \left(\dfrac{a}{b}\right)^{3}+21 \left(\dfrac{a}{b}\right)^{2}+30 \left(\dfrac{a}{b}\right)+14 =0$$と変形することができるので、$x=\dfrac{a}{b}$ と置けば$$\small 5 x^{3}+21 x^{2}+30x+14 =0$$となります。この3次方程式を解くことになりますが、幸いなことに $x=-1$ が解として見つかるので$$\small \begin{array}{l}
\quad \ 5x^3+21 x^{2}+30 x+14 \\
=(x+1)\left(5 x^{2}+16 x+14\right) \\
=5(x+1)\left(x+\dfrac{8-\sqrt{6}i}{5}\right)\left(x+\dfrac{8+\sqrt{6}i}{5}\right)
\end{array}$$と因数分解できます。（ここでは実数解を持たないことを確認しているだけなので、実際には複素数の範囲まで因数分解する必要はありません）

これより、$x=\dfrac{a}{b}=-1$ として $a=-b$ を得ます。これを$(*)$のどちらかの式に代入して $b= \pm 1$ を得ますが、$a+b\sqrt{2}>0$ なので $(a,b)=(-1,1)$ と定まります。

よって$$\small \color{red}{\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}=\sqrt{2}-1}$$と二重根号を外すことができます。

② 共役な数を考えて対称式から攻める

◎この方法は汎用的なので知っておくと便利です。

$\alpha=\sqrt[3]{5 \sqrt{2}-7}$、$\beta=\sqrt[3]{5 \sqrt{2}+7}$ と置くと、$$\small \begin{aligned}
\alpha^{3}+\beta^{3} &=(5 \sqrt{2}-7)+(5 \sqrt{2}+7) \\
&=10 \sqrt{2} \quad \cdots ③\\
\alpha^{3}-\beta^{3} &=(5 \sqrt{2}-7)-(5 \sqrt{2}+7) \\
&=-14 \quad \cdots ④\\
\alpha \beta &=\sqrt[3]{(5 \sqrt{2})^{2}-7^{2}}=1 \quad \cdots ⑤
\end{aligned}$$となります。また、$$\small \left\{\begin{array}{l}
\alpha^{3}+\beta^{3}=(\alpha+\beta)^{3}-3 \alpha \beta(\alpha+\beta) \quad \cdots ⑥ \\
\alpha^{3}-\beta^{3}=(\alpha-\beta)^{3}+3 \alpha \beta(\alpha-\beta) \quad \cdots ⑦
\end{array}\right.$$と変形できるので、$t=\alpha+\beta$ と置けば、③と⑤より⑥は$$10 \sqrt{2}=t^{3}-3 t$$と書き換えられます。この式の因数分解は一見無理そうに見えますが、左辺に$\sqrt{2}$を含む項があるので $t=k\sqrt{2}$ という解を持つのではないか、と予想できます。この着眼点から少し探すと $t=2\sqrt{2}$ という解が見つかるので、$$\small (t-2 \sqrt{2})\left(t^{2}+2 \sqrt{2} t+5\right)=0$$と因数分解できます。これが $t=2\sqrt{2}$ 以外に実数解をもたないことは$$\small t^{2}+2 \sqrt{2} t+5=(t+\sqrt{2})^2+3>0$$により確かめられます（これは $t>0$ であることからも分かります）。

よって$$\alpha+\beta=2\sqrt{2} \quad \cdots ⑧$$を得ます。

全く同様に $\alpha-\beta=u$ と置けば、④と⑤より⑦は$$-14=u^{3}+3 u$$ $$\therefore (u+2)\left(u^{2}-2 u+7\right)=0$$を得ます。$u^{2}-2 u+7=(u-1)^{2}+6>0$ より、実数解は $u=-2$ のみと分かります（$u>0$ であることからも分かります）。したがって$$\alpha-\beta=-2 \quad \cdots ⑨$$を得ます。

したがって、⑧と⑨より$$\small (\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)=2 \sqrt{2}+(-2)$$ $$\small \therefore 2 \alpha=2 \sqrt{2}-2$$ $$\small \therefore \alpha=\sqrt{2}-1$$と求められます（副産物として $\beta=\sqrt{2}+1$ も得られます）。これより、$$\small \color{red}{\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}=\sqrt{2}-1}$$を得ます。

③ 多項式を利用する

◎この方法は2次の二重根号に対しては有効なことが多いですが、3次以上になると人間の手に負えない因数分解スキルが必要になってきます･･･。

少し実演してみます。

$\sqrt[3]{5 \sqrt{2}-7}=t\,(>0)$ と置き、両辺を3乗すると$$5 \sqrt{2}-7=t^{3}$$ $$\therefore 5 \sqrt{2}=t^{3}+7$$を得ます。この両辺をさらに2乗すると$$50=t^{6}+14 t^{3}+49$$ $$\therefore t^{6}+14 t^{3}-1=0$$となります。次の式変形が料理番組的なのですが、この6次式は実は$$\small \left(t^{2}+2 t-1\right)\left(\underline{t^{4}-2 t^{3}+5 t^{2}+2 t+1}\right)=0$$と因数分解することができます(！)。これはもはやテクニックとかいう次元ではなく、力づくで因数分解するしかありません。なお、下線部は実数解をもちませんが、このことは以下の式変形で確かめられます。$$\small \begin{aligned}
& \quad \ t^{4}-2 t^{3}+5 t^{2}+2 t+1 \\
&=(t^{4}-2 t^{3}+t^{2})+3t^2+(t^{2}+2 t+1) \\
&=(t-1)^{2}t^{2}+3t^2+(t+1)^{2}>0
\end{aligned}$$ $t^{2}+2 t-1=0$ の解は$$t=-1\pm \sqrt{2}$$なので、$t>0$ の方をとって、$$\small \color{red}{\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}=\sqrt{2}-1}$$を得ます。

多項式を利用する方法は、3乗根やそれ以上の次数の二重根号を外そうとすると無理のある因数分解を強いられるのであまりオススメできません。ただし、これが例えば2次の場合（$\sqrt{5+\sqrt{21}}$ など）だとかなり有効です。ご自分の手で確かめてみて下さい。

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 外せる二重根号の見分け方！

見分け方①（平方根の場合）

$\sqrt{A\pm 2\sqrt{B}}$ という二重根号が外せるかどうかは、$D=A^2-4B$ が平方数かどうかを調べることで判別可能です。つまり、$D$ が平方数のとき二重根号を外すことができ、そうでないときは二重根号は外せないことが言えます。

例えば $\sqrt{7-2 \sqrt{12}}$ について、$$D=7^2-4 \cdot 12=1$$となり平方数となるので二重根号が外せます。実際、$$\sqrt{7-2 \sqrt{12}}=2-\sqrt{3}$$となります。また、$\sqrt{7+2 \sqrt{12}}$ についても$$\sqrt{7+2 \sqrt{12}}=2+\sqrt{3}$$と二重根号が外せることが分かります。

一方で、$\sqrt{\sqrt{3}-1}\,(=\sqrt{-1+2\sqrt{\dfrac{3}{4}}})$ については、$$D=(-1)^2-4 \cdot \dfrac{3}{4}=-2$$となり平方数でないので、この二重根号は外せないことが分かります。

見分け方②（最小多項式を探す）

※この見分け方がすべてのケースで成り立つかどうかについて管理人は確認していません。多分合っているだろうという程度の方法なので使用するときは注意して下さい。

先ほどの「③ 多項式を利用する」にも通じる内容ですが、$\sqrt[n]{a \pm b\sqrt{d}}$ という式の二重根号が外せるかどうかは$$\sqrt[n]{a \pm b\sqrt{d}}=t$$と置いたときに、$t$の2次式が得られるかどうかで判別可能です（※この方法にも例外があります^*2）。

例えば、$\sqrt{7-2 \sqrt{12}}=t$ とすると、$$7-2 \sqrt{12}=t^2$$ $$\therefore -2 \sqrt{12}=t^2-7$$この両辺を2乗して$$48=t^4-14t^2+49$$ $$\therefore t^4-14t^2+1=0$$ $$\therefore (t^4+2t^2+1)-16t^2=0$$ $$\therefore (t^2+1)^2-16t^2=0$$ $$\therefore (t^2-4t+1)(t^2+4t+1)=0$$と因数分解できます。$$\small \begin{align}
\sqrt{7-2 \sqrt{12}}&=\sqrt{7-4\sqrt{3}} \\
&\approx \sqrt{\mathstrut 3.54…} \\
&<2
\end{align}$$なので $t^2-4t+1=0$ の解だと分かり、$$\sqrt{7-2 \sqrt{12}}=2-\sqrt{3}$$と求められます。

以上から、$t^2-4t+1=0$ という2次方程式は $\sqrt{7-2 \sqrt{12}}$ を解に持っており、$t^2-4t+1$ という2次式が $\sqrt{7-2 \sqrt{12}}$ の「最小多項式^*3」であることが分かります。

一方で、$\sqrt{\sqrt{3}-1}=t$ とすると、$$\sqrt{3}-1=t^2$$ $$\therefore \sqrt{3}=t^2+1$$この両辺を2乗して$$3=t^4+2t^2+1$$ $$\therefore t^4+2t^2-2=0$$ となりますが、残念ながらこれ以上左辺は因数分解ができません。つまり、$\sqrt{\sqrt{3}-1}=t$ の最小多項式は2次式ではなく4次式であることが分かります。

また、先ほど $\sqrt[3]{5 \sqrt{2}-7}=t$ と置いたときに $t^{2}+2 t-1$ という2次式が得られていました。

これらのことから、$\sqrt[n]{a + b\sqrt{d}}$ の二重根号は$$\sqrt[n]{a + b\sqrt{d}}=t$$と置いたときに$t$の2次式が得られる場合に外せそうだと推測できます。ただし、ある多項式がそれ以上因数分解できないことを確かめるのは一般的に難しいので、この見分け方は最後の手段として使うのが良いでしょう。

*2. 例えば $\sqrt{5+2\sqrt{6}}=t$ とすると、$t^4-10t+1$ という4次の最小多項式が得られますが、実は$$\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{2}+\sqrt{3}$$のように二重根号が解除できます。「2次」の最小多項式が得られるのは $a + b\sqrt{d}$ という2次体にまで簡単化できる場合に限るので注意が必要です。それ以外のケースでは最小多項式の次数がより高次となります。

*3. 拡大体 $E$ の元 $\alpha$ を元とする体 $F$ 上の代数方程式の中で、次数が最低のモニック多項式を $\alpha$ の「最小多項式」と呼びます。詳しくは体論という代数学の分野を勉強する必要があるのですが、ここでは「最高次の係数が$1$で、これ以上因数分解できない有理係数の多項式」という程度の理解で構いません。