京都大学2020年前期理系数学第4問

解答例

$n \equiv 1 \pmod{3}$ のとき、$$\begin{aligned}
f(m,n) &= m^3+n^2+n+3 \\ & \equiv m^3+2 \pmod{3}
\end{aligned}$$となる。これが$3$の倍数となるには$$m^3 \equiv 1 \pmod{3}$$が必要であり、$m \equiv 1 \pmod{3}$ がこれを満たす。

また、$n \equiv -1 \pmod{3}$ のとき、$$\begin{aligned}
f(m,n) &= m^3+n^2+n+3 \\ & \equiv m^3 \pmod{3}
\end{aligned}$$となる。よって、$m \equiv 0 \pmod{3}$ がこれを満たす。

以上より、$$(m, n) \equiv(0,2),(1,1)$$となることが必要である。

（ア）$(m, n) \equiv(0,2)$ のとき、ある整数 $M,N$ を用いて$$m=3M, \, n=3N-1$$と表せる。ただし整数 $M,N$ は $1 \leqq M \leqq 10$、$1 \leqq N \leqq 10$ を満たすものとする。

これを$f(m,n)$に代入して整理すると$$f(m,n)=3(9M^3+3N^2-N+1)$$を得る。よって $A(m,n) \geqq 2$ となるためには$$9M^3+3N^2-N+1 \equiv 0 \pmod{3}$$が必要であるから、少なくとも $N \equiv 1 \pmod{3}$ が必要となる。このとき$n$として可能なものは $2$、$11$、$20$、$29$ の４つであり、このとき$$\small \begin{array}{|c||c|c|c|c|}
\hline n & 2 & 11 & 20 & 29 \\
\hline N & 1 & 4 & 7 & 10 \\
\hline n^{2}+n+3 & 3^2 & 3^3 \cdot 5 & 3^2 \cdot 47 & 3^2 \cdot 97 \\
\hline
\end{array}$$となるから、これらの$n$について$$f(m,n)=m^3+\underline{n^2+n+3}$$の下線部は$9$の倍数となる。そこで整数$k$を用いて $n^2+n+3=9k$ と置くと、$$\begin{aligned}
f(m,n) &= 27M^3+9k \\ & =9(3M^3+k)
\end{aligned}$$となる。したがって$k$が$3$の倍数のとき $A(m,n) \geqq 3$ となるが、そのような$n$は $n=11$ のみである。$n=11$ とすると $k=15$ となるから$$\begin{aligned}
f(m,n) &= 27M^3+9k \\ & =27(M^3+5)
\end{aligned}$$となる。さらに $M^3+5$ が$3$の倍数となるためには $M \equiv 1 \pmod{3}$ が必要となる。このとき$m$として可能なものは $3$、$12$、$21$、$30$ の４つであり、このとき$$\small \begin{array}{|c||c|c|c|c|}
\hline m & 3 & 12 & 21 & 30 \\
\hline M & 1 & 4 & 7 & 10 \\
\hline f(m,11) & 2 \cdot 3^4 & 3^4 \cdot 23 & 2^2 \cdot 3^4 \cdot 29 & 3^4 \cdot 5 \cdot 67 \\
\hline
\end{array}$$となるから、これらの$m$の値はすべて $A(m,n)=4$ を満たす。

（イ）$(m, n) \equiv(1,1)$ のとき、ある整数 $M,N$ を用いて$$m=3M+1, \, n=3N+1$$と表せる。ただし整数 $M,N$ は $0 \leqq M \leqq 9$、$0 \leqq N \leqq 9$ を満たすものとする。

これを$f(m,n)$に代入して整理すると$$\small f(m, n) = 3 \left\{\underline{3\left(3 M^{3}+3 M^{2}+M+N^{2}+N\right)+2}\right\}$$を得る。ここで下線部は$3$の倍数でないから、このとき $A(m,n)=1$ となる。

以上 (ア)、(イ) より、 $A(m,n)$ の最大値は$$\color{red}{4}$$であり、そのときの$(m, n)$の組は$$\color{red}{(3,11),(12,11),(21,11),(30,11)}$$である。