創作整数問題#12解法＆創作整数問題#13

多忙のため更新ができない日が続いています。まとまった休みができれば作りかけの固定ページの方も製作が捗るのですが･･･。

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《問題#13》

等式 $p + q = (p − q)^3$を満たす素数 $p$、$q$ の組をすべて求めよ。

（創作問題）

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ディオファントス方程式の良い練習問題だと思います。今回はノーヒントで！

 

 

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創作整数問題#12（解き方）

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問題#12は剰余の話題でした。

$N=7^a+5b+1$ が$8$の倍数となるような正の整数$a$、$b$の組は $1 \leqq a \leqq 8$、 $1 \leqq b \leqq 8$ の範囲に何組存在するか。

まず $7^a+1$ が偶数であることに気が付きましょう。これにより$b$は偶数でなければなりません。以下、$7^a \equiv (-1)^a \pmod{8}$ であることに注意しつつ $7^a+1$ がどのような偶数になるのかで場合分けします。

ⅰ）$a$が奇数のとき $7^a \equiv -1 \pmod{8}$ ですから$$\begin{align} 7^a+1 &\equiv -1+1 \pmod{8} \\ &\equiv 0 \pmod{8} \end{align}$$となるので、$b$は$8$の倍数であることが必要です。よって

$(a,b)=(1,8)$、$(3,8)$、$(5,8)$、$(7,8)$

は求める組です。

ⅱ）$a$が偶数のとき $7^a \equiv 1 \pmod{8}$ ですから$$\begin{align} 7^a+1 &\equiv 1+1 \pmod{8} \\ &\equiv 2 \pmod{8} \end{align}$$となるので、$5b$を$8$で割った余りが$6$であることが必要です。$1 \leqq b \leqq 8$ の範囲でこの条件を満たす$b$は$6$のみです。よって

$(a,b)=(2,6)$、$(4,6)$、$(6,6)$、$(8,6)$

は求める組です。

以上ⅰ）、ⅱ）より題意を満たす組の数は$8$個となります。

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（コメント）

等差数列、等比数列の剰余は循環します。このことは是非覚えておきたいですね。解答では「$5b$」の方ではなく「$7^a$」に着目していますが、これは割る数である$8$に近いため、$8$で割ったときの余りが考えやすいからです。

1997年の一橋大学(前期)第1問に本問の類題がありますが、一橋大の問題は今回の問題#12より文字が１個増えるのでやや複雑になります。問題#12が簡単に解けてしまった方は挑戦してみてください。

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（2017/07/06追記：たけちゃん 様より、コメントを頂きました）

$5$と$8$が互いに素であることを利用すれば、

①$a$を固定すると$7^a+1$を$8$で割った余り$r_1$が取り敢えず定まる。
②$5$と$8$は互いに素であるから、$1 \leqq b \leqq 8$を満たす整数$b$に対して、$5b$を$8$で割った余り$r_2$は$8$個の$b$の値に１対１で対応する。
③よって$r_1$の値に対して、$1$～$8$の中から適切な$b$の値を選べば、$r_1+r_2$の$8$で割った余りを$0$にすることができる。つまり$N$を$8$の倍数にすることができる。
④故に、ある$a$の値に対して$N$が$8$の倍数になるような$b$の値を１対１で対応させることができるから、求める正の整数$a$、$b$の組は「$8$個」となる。

という手順によって細かい計算をすることなく求められます。たけちゃん 様に感謝致します。