多忙のため更新ができない日が続いています。まとまった休みができれば作りかけの固定ページの方も製作が捗るのですが・・・。
《問題#13》
等式
(創作問題)
ディオファントス方程式の良い練習問題だと思います。今回はノーヒントで!
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創作整数問題#12(解き方)
問題#12は剰余の話題でした。
まず
ⅰ)
は求める組です。
ⅱ)
は求める組です。
以上ⅰ)、ⅱ)より題意を満たす組の数は
(コメント)
等差数列、等比数列の剰余は循環します。このことは是非覚えておきたいですね。解答では「
1997年の一橋大学(前期)第1問に本問の類題がありますが、一橋大の問題は今回の問題#12より文字が1個増えるのでやや複雑になります。問題#12が簡単に解けてしまった方は挑戦してみてください。
(2017/07/06追記:たけちゃん 様より、コメントを頂きました)
①
②
③よって
④故に、ある
という手順によって細かい計算をすることなく求められます。たけちゃん 様に感謝致します。
#12では,7^aについての考察は不必要ではないでしょうか.
α,βは1以上8以下の整数とします.
5と8が互いに素であることに注意すると,
5(α-β)が8の倍数となるのはα-βが8の倍数のときに限り
-7≦α-β≦7から,α-β=0のときに限ります.
すると,aを固定するとき,
b=1,2,3,4,…,8に対して,Nを8で割った余りはすべて異なり,
このうちの1つだけが8の倍数となります.
以上より,求める個数は8ですね.
たけちゃん さんコメントありがとうございます!
たけちゃん さんの説明に少し冗長な日本語を付け足してみますと、
① を固定すると を で割った余り が取り敢えず定まる。 と は互いに素であるから、 を満たす整数 に対して、 を で割った余り は 個の の値に1対1で対応する。 の値に対して、 ~ の中から適切な の値を選べば、 の で割った余りを にすることができる。つまり を の倍数にすることができる。 の値に対して が の倍数になるような の値を1対1で対応させることができるから、求める正の整数 、 の組は「 個」となる。
②
③よって
④故に、ある
という寸法になりましょうか。
この理屈によれば、明らかに合同式を持ち出すまでもありませんでしたね。
エレガントな解答に感謝致します!(・・・寧ろこの解法の方が普通なのかも?)