創作整数問題#12解法&創作整数問題#13

多忙のため更新ができない日が続いています。まとまった休みができれば作りかけの固定ページの方も製作が捗るのですが・・・。


《問題#13》

等式 p+q=(pq)3を満たす素数 pq の組をすべて求めよ。

(創作問題)


ディオファントス方程式の良い練習問題だと思います。今回はノーヒントで!

 

 

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答えは \colorred(p,q)=(5,3) です。

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創作整数問題#12(解き方)


問題#12は剰余の話題でした。

まず 7a+1 が偶数であることに気が付きましょう。これによりbは偶数でなければなりません。以下、7a(1)a(mod8) であることに注意しつつ 7a+1 がどのような偶数になるのかで場合分けします。

ⅰ)aが奇数のとき 7a1(mod8) ですから7a+11+1(mod8)0(mod8)となるので、b8の倍数であることが必要です。よって

(a,b)=(1,8)(3,8)(5,8)(7,8)

は求める組です。

ⅱ)aが偶数のとき 7a1(mod8) ですから7a+11+1(mod8)2(mod8)となるので、5b8で割った余りが6であることが必要です。1b8 の範囲でこの条件を満たすb6のみです。よって

(a,b)=(2,6)(4,6)(6,6)(8,6)

は求める組です。

以上ⅰ)、ⅱ)より題意を満たす組の数は8となります。


(コメント)

等差数列、等比数列の剰余は循環します。このことは是非覚えておきたいですね。解答では「5b」の方ではなく「7a」に着目していますが、これは割る数である8に近いため、8で割ったときの余りが考えやすいからです。

1997年の一橋大学(前期)第1問に本問の類題がありますが、一橋大の問題は今回の問題#12より文字が1個増えるのでやや複雑になります。問題#12が簡単に解けてしまった方は挑戦してみてください。


(2017/07/06追記:たけちゃん 様より、コメントを頂きました)

58が互いに素であることを利用すれば、

aを固定すると7a+18で割った余りr1が取り敢えず定まる。
58は互いに素であるから、1b8を満たす整数bに対して、5b8で割った余りr28個のbの値に1対1で対応する。
③よってr1の値に対して、18の中から適切なbの値を選べば、r1+r28で割った余りを0にすることができる。つまりN8の倍数にすることができる。
④故に、あるaの値に対してN8の倍数になるようなbの値を1対1で対応させることができるから、求める正の整数abの組は「8個」となる。

という手順によって細かい計算をすることなく求められます。たけちゃん 様に感謝致します。

 

“創作整数問題#12解法&創作整数問題#13” への2件の返信

  1. #12では,7^aについての考察は不必要ではないでしょうか.

    α,βは1以上8以下の整数とします.
    5と8が互いに素であることに注意すると,
    5(α-β)が8の倍数となるのはα-βが8の倍数のときに限り
    -7≦α-β≦7から,α-β=0のときに限ります.

    すると,aを固定するとき,
    b=1,2,3,4,…,8に対して,Nを8で割った余りはすべて異なり,
    このうちの1つだけが8の倍数となります.

    以上より,求める個数は8ですね.

    1. たけちゃん さんコメントありがとうございます!
      たけちゃん さんの説明に少し冗長な日本語を付け足してみますと、

      aを固定すると7a+18で割った余りr1が取り敢えず定まる。
      58は互いに素であるから、1b8を満たす整数bに対して、5b8で割った余りr28個のbの値に1対1で対応する。
      ③よってr1の値に対して、18の中から適切なbの値を選べば、r1+r28で割った余りを0にすることができる。つまりN8の倍数にすることができる。
      ④故に、あるaの値に対してN8の倍数になるようなbの値を1対1で対応させることができるから、求める正の整数abの組は「8個」となる。

      という寸法になりましょうか。
      この理屈によれば、明らかに合同式を持ち出すまでもありませんでしたね。
      エレガントな解答に感謝致します!(・・・寧ろこの解法の方が普通なのかも?)

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