創作整数問題#24解法＆創作整数問題#25

“創作整数問題#24解法＆創作整数問題#25” への4件の返信

1. 「$2^{2N-1}+2^{2N+2}+2^n=m^2$」…(*)について考えてみました．

   左辺の素因数 $2$ の個数の考察から $n\leqq 2N-1.$
   $n=2N-1$ のときは左辺は $5\cdot 2^{2N}$ となって不適であり，
   $n<2N-1$ であって，$n$ は偶数に限る．$n=2k$ とおく．
   このとき，方程式は，次のように変形される．
   $$9\cdot 2^{2N-1}=m^2-2^{2k}=(m+2^k)(m-2^k).$$

   $m$ は素因数 $2$ をちょうど $k$ 個もつから，
   2数 $m+2^k,m-2^k$ はともに $2^{k+1}$ で割り切れ，
   割った商は連続2整数である．
   その積は自然数で，$9=3^2$ の倍数であり，
   $3^2$ のほかには $2$ 以外の素因数をもたない．
   連続2整数は互いに素であることから，この連続2数は $8,9$ に限られる．
   $$m+2^k=9\cdot 2^{k+1},m-2^k=8\cdot 2^{k+1},2^{2N-1}=2^{2k+5}.$$

   結局，(*)が成り立つのは，
   $$N=k+3,n=2k,m=17\cdot 2^k$$
   と表されるときに限るようです．

   例えば，
   $$2^7+2^{10}+2^n=m^2$$
   であれば，自然数解 $(m,n)=(34,2)$ をもちます．

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2. すみません，\TEX の基本的なミスをしました．

   $2^{1}0$ とあるのは，$2^{10]$ が正しいです．

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3. あれ，重ね重ねすみません．．．
   「$2^{10}$」 です．

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4. たけちゃん 様、コメントありがとうございます。
   （僭越ながら上記のコメントを修正させて頂きました。初めて知りましたが、管理者でないと再編集できない仕様になっているようです。）

   考察して頂きありがとうございます。
   $k$という変数だけで解が無数に生み出せるのですね。とても興味深い結果だと思います。
   余計なことかもしれませんが、左辺が平方数であることから、$mod3$に着目すれば$n$が偶数に限ることは直ちに了解できます。ただ、この場合は素因数$2$の個数に着目するのが普通だと思います。

   結局のところ、$$2^{2k}+2^{2k+3}+2^{2k+4}$$或いは$$2^{2l}+2^{2l+5}+2^{2l+8}$$と構成すればこれらの値は平方数になるようですね。

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