2017年9月27日2018年7月19日投稿者: pencil

創作整数問題#24解法＆創作整数問題#25

突然ですが、今年の十五夜は１０月４日です。十五夜というのは旧暦８月１５日のことを指し、９月下旬から１０月上旬にかけて空気がよく澄んで月が綺麗に見えることから、この時期の満月は「中秋の名月」と呼ばれます。十五夜＝満月というイメージがありますが、新月と満月の周期は１５日程度であり、実は毎年の十五夜に必ず満月が見られるとは限りません（因みに次の満月は１０月６日です）。

たまにはのんびりと月見を楽しみたいものです。

《問題#25》

有理数 $p$ を用いて $\dfrac{p^2+1}{p(p-1)}$ と表せる整数をすべて求めよ。

（創作問題）

整数問題の演習に手頃な問題だと思います。

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答えは $\color{red}{1,-5}$ です。

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創作整数問題#24（解き方）

$2^6+2^9+2^n$ が平方数となるような自然数$n$をすべて求めよ。

自然数 $m$ を用いて$$2^6+2^9+2^n=m^2$$と置くと、$$\therefore 2^6 (1+2^3)+2^n=m^2$$ $$\therefore 8^2 \cdot 3^2+2^n=m^2$$ $$\therefore 2^n=(m-24)(m+24)$$と変形できます。左辺は$2$の冪なので、$$\begin{cases} m-24=2^s \\ m+24=2^t \end{cases} \ (s+t=n)$$を満たす非負整数 $s、t$ が存在します（ただし $m-24<m+24$ より、$s<t$ です）。これらより $m$ を消去して、$$48=2^t-2^s$$ $$\therefore 2^4 \cdot 3 =2^s(2^{t-s}-1)$$を得ます。$t-s>0$ より、$2^{t-s}-1$ は奇数ですから、これが$3$に一致するので、$2^{t-s}-1=3$ かつ $2^s=2^4$ となり、$$s=4、t=6$$を得るので、$$n=10$$と求められます。また、このとき$$2^6+2^9+2^{10}=1600=40^2$$となり、確かに平方数となっているため、求める自然数$n$は$$\color{red}{n=10}$$となります。

（コメント）

本問は $2^k+1=l^2$ というディオファントス方程式が $k=l=3$ のみを自然数解に持つことが背景になっています。このことを利用すれば、例えば次のような問題を無数に作ることができるという訳です。

【例題】$2^{2014}+2^{2017}+2^n=m^2$ を解け。

（答えは $n=2018$ です）

ただ、$2^{2N-1}+2^{2N+2}+2^n=m^2$ の場合は解を持たないようですが、証明するのは面倒くさそうです（私が解を持つような組を発見できていないだけかもしれませんが･･･）。

（2017/09/28追記：コメント欄にて、たけちゃん様より $2^{2N-1}+2^{2N+2}+2^n=m^2$ の場合に関する考察を頂きました）