「瀬」という言葉は、川の流れの速いところを意味します。「年の瀬」とはよく言ったものですね。今年の西暦、2017という数字は素数なのですが、次に西暦が素数になるのは2027年ですから、何と10年も待たなければなりません。
今年も色々なことがありましたが、今日で2017年とはお別れです。そんな訳で今回は西暦に因んだ出題としてみました！
《問題#30》
$2015^{2016}+2016^{2015}$は素数か。
（創作問題）
見え見えでしょうか(笑)？
今回の問題は#30ですが、偶然にも来年は平成30年です！
長かった平成の時代ももうすぐ終わってしまいますね･･･。年月の流れを感じます。
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実は $\color{red}{2017 \mid 2015^{2016}+2016^{2015}}$ なので素数ではありません！
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創作整数問題#29（解き方）
| ある自然数は、$2$乗した値を$29$で割った余りと、$4$倍して$1$を加えた値を$29$で割った余りが等しいという。このような自然数をすべて求めよ。 |
求める自然数を$k$とします。条件より、$$k^2 \equiv 4k+1 \pmod{29}$$が成立するので、ある整数$j$を用いて$$k^2-4k-1=29j \tag{1}$$と置けます。ここで $k=29n+r$（$n$は$0$以上の整数、$r$は $0 \leqq r \leqq 28$ を満たす整数）と置けば、$(1)$式は新しい整数$m$を用いて$$r^2-4r-1=29m \tag{2}$$と書き直せます。$(2)$式を$r$について解くと$$r=2 \pm \sqrt{\smash[b]{5+29m}}$$となりますが、根号の中身である $5+29m$ は負にならないので$$5+29m \geqq 0$$ $$\therefore m \geqq 0 \ (\because m \in \mathbb{Z})$$となります。したがって $\sqrt{\smash[b]{5+29m}}>2$ ですから $r \geqq 0$ を考えると$$r=2+\sqrt{\smash[b]{5+29m}}$$です。ここで $0 \leqq r \leqq 28$ より$$0 \leqq 2+\sqrt{\smash[b]{5+29m}} \leqq 28$$ $$\therefore (0 \leqq ) \ m \leqq \dfrac{671}{29}=23.1…$$ $r$は整数ですから $0 \leqq m \leqq 23$ の下で $5+29m$ が平方数になるような$m$が存在する必要があります。これを探すと $m=4、11$ のときが適し、このとき $5+29m$ はそれぞれ $121 \ (=11^2)$、$324 \ (=18^2)$ をとるので、対応する$r$はそれぞれ$13$、$20$となります。したがって求める自然数$k$は$$\color{red}{29n+13、29n+20 \ (n \in \mathbb{Z} \geqq 0)}$$となります。
（コメント）
因みに問題文中の「$2$乗した値」という部分を「$3$乗した値」とすると、適する自然数は $29n+16$ 型の自然数になります。
また、「$4$乗した値」とすると、適する自然数は存在しません。
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さて、前回のおまけ問題②の答えですが、皆さん解けましたか？
実は $712! + 1$ は素数ではありません。これが合成数だとすると、$712$以下のすべての正の整数と互いに素ですから、$713$以上の素数を素因数に持つことになります。$713$以上の素数で最小のものは$719$ですから、$719$で割り切れるのではないかとアタリを付けてみます。$719$は素数なのでウィルソンの定理より、$$718!+1 \equiv 0 \pmod{719}$$となります。一方で$$\begin{align} &\ \ \ \ \ 718! \\ &=712! \cdot 713 \cdot 714 \cdot 715 \cdot 716 \cdot 717 \cdot 718 \\ &\equiv 712! \cdot (-6) \cdot (-5) \cdot (-4) \cdot (-3) \cdot (-2) \cdot (-1) \pmod{719} \\ &=712! \cdot 6! \\ &=712! \cdot 720 \\ &\equiv 712! \cdot 1 \pmod{719} \end{align}$$です。これより、$$712!+1 \equiv 718!+1 \equiv 0 \pmod{719}$$となるので、$712!+1$ は$719$で割り切れます。
というワケで $712! + 1$ は$719$の倍数なのでした。なかなか心憎い問題ですね！
来年もちまちま更新していくつもりですので宜しくお願い致します！