創作整数問題#35解法&創作整数問題#36

関東地方では三十余年振りに積雪がゼロでない状態が一週間ほど続きました。寒ければ雪が融けないのは当たり前ですが、これほどまでに融けないとは誰も思わなかったのでは・・・。非降雪地域の路面は積雪が全く考慮されていないため、雪が積もった途端に殺人的な滑りやすさになってしまいます。タイルなどの上を歩く際は要注意!


創作整数問題#36


《問題#36》

3次方程式2x3mx2(4m+1)x12=0が整数解をもつような整数mをすべて求めよ。

(創作問題)


基本問題です。創作整数問題シリーズでは初めて扱うタイプですが、入試問題としては出題されやすいタイプの問題です。

 

 

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答えは m=21, 36 です。

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創作整数問題#35(解き方)



ファレー数列とはイギリスの地質学者ジョン・ファレーに因んだ数列で、彼が1816年の「Philosophical Magazine」という雑誌に論文を投稿したことで広く知られるようになりました。

前回も少し触れた通り、ファレー数列はオイラーのトーシェント関数に関係しています。「既約分数」からなる数列ですので、この数列を調べる際には「互いに素」という性質が付きまといます。

Fnで初めて登場する分数の分母はnですから、Fnで新たに出てくる項はnと互いに素なnより小さい自然数が分子になります。nと互いに素でない、つまり1でない公約数をもつなら、Fn1までに、ある既約分数として既に登場していますから、オイラーのトーシェント関数ϕ(n)を用いると(ⅰ)fnfn1=ϕ(n)と表せます。ここで、オイラーのトーシェント関数ϕ(n)とは、n以下の自然数のうちでnと互いに素なものの個数を表しています。()式より、ϕ(n)fnの階差数列となっているので関係式(ⅱ)fn=1+m=1nϕ(m)を得ます。f1=2 なのでこれはすべての自然数nについて成立しています。ここで ϕ(1)=ϕ(2)=1 であり、n3 のときϕ(n)が偶数値をとることを既知とすれば(1)はすぐに分かります。ただ、そんなわけにもいかないと思いますので、ϕ(n)を使わずに、これを理解してみましょう。

nkが互いに素のとき、nnkも互いに素です。当然、その逆も真です。これは多分問題ないと思いますが、一応(?)説明しておきます。

nkは互いに素であるとします。nnk がある公約数dをもつとすると、それらの差 n(nk)dの倍数となります。よってnkはともにdの倍数となりますが、nkは互いに素なので d=1 しかありえません。これより、nnk は互いに素であることが分かります。

したがって次のことが言えます。

数列Fnknが新たに加わるならばnknも新たに加わる。

nと互いに素なkについてknk が1対1で対応しますから、Fnには新たに偶数個ずつ項が増えていくことになります。12の場合は自分自身しか対応できないので奇数個増えることになり、n2 のときはfnがつねに奇数であることが言えます。

またこのとき1対1で対応するknnknの和はちょうど1となりますから、数列Fnの和はϕ(n)2ずつ増えていきます。n=2 の場合は12しか増えないので一端脇に置いておきます。

これより数列Fnの和をSnとするとSn=1+12+k=3nϕ(k)2=32+12k=3nϕ(k)=32+fn32  (())=fn2となります。これは n=1, 2 でも成立するので、これで(2)も示すことができました。


(コメント)

(2)のところで説明しているのは、和が1になるような組の個数は12を除いたfn12個なので、これに12を加えてやればFnの総和がfn2と表すことができる、というものです。上記の和が k=3 から始まっているのは、12を除外すると n=1 のときがやや書きにくかった、というだけなのでそれほど深い意味はありません。

今回はファレー数列のごくごく基本的な内容を問題風にしてみました。理屈が分かれば小学生でも理解できそうです。この他に、幾何や解析の分野でもファレー数列が関係する事象が知られています。何とも奥が深い数列です。

それからこれは余談ですが、ファレー数列に関する論文は既に1802年の時点でフランスの数学者シャルル・ハロスによって世に出されていたようです。ハロスの論文は当時あまり注目されなかった一方で、ファレーの論文はたまたま著名な数学者であるフランスの数学者コーシーの目に留まり、その内容に関する証明がコーシーによって与えられるなどしたため、今日では「ハロス数列」ではなく「ファレー数列」と呼ばれて広く知られるようになりました。そう考えるとやはりタイミングというのは重要な要素なのだと改めて感じさせられますね。

 

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