創作整数問題#36解法＆創作整数問題#37

“創作整数問題#36解法＆創作整数問題#37” への2件の返信

1. [#37について]

   複素関数 $f(z)=\sqrt[3]z$ は多価関数であり，
   与えられた式は値が1つに定まらないのではないでしょうか．

   もし，負の実数以外の $z$ について，$f(z)$ の偏角 $\theta$ を
   $-\dfrac\pi3<\theta<\dfrac\pi3$ の範囲にとることにすれば，
   確かに与式の値は $4$ になりますが，この定義も，
   実関数としての $\sqrt[3]{-1}=-1$ とは不連続となり，少し苦しいと思います．

   以下，仮の答案2つを例示します．

   (答案1)
   $\alpha^3=2+11i,\ \beta^3=2-11i$ として，
   \[(\alpha+\beta)^3=\alpha^3+\beta^3+3\alpha\beta(\alpha+\beta).\]

   ここで，$(\alpha\beta)^3=(2+11i)(2-11i)=125$ である．

   $\alpha\beta=5$ のときを考える．($\ast1$)

   $\alpha+\beta=t$ とすると，
   \[t^3=(2+11i)+(2-11i)+3\cdot5t\]
   すなわち
   \[t^3-15t-4=0\]
   となって，
   \[(t-4)(t^2+4t+1)=0.\]

   これより，
   \[t=4,\ -2\pm\sqrt3.\quad (\ast2)\]

   (答案2)
   $(2+i)^3=2+11i$ だから，$\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}=2+i$ ($\ast3$)
   と考えられる．

   $\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}$ はこれと共役だから ($\ast4$)
   $\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}=2-i$ となって，
   \[(与式)=(2+i)+(2-i)=4.\]

   (答案1)では ($\ast1$) で勝手にある場合に限定しましたが，
   それでも ($\ast2$) のように，値は $4$ とは定まりません．

   (答案2)では，($\ast3$) での値限定が妥当とは限らず，
   ($\ast4$) も怪しい決めつけに思えます．

   [#36について]

   ついでなので，一応コメントしておきます．

   各 $k$ の値に対して $m$ は，
   \[2k^3-mk^2-(4m+1)k-12=0\]
   を満たすように定めたことになっています．
   すると，$m$ の値が整数となったとき，
   その $m$ をあらためて方程式に代入して解き直す必要はないですね．

   (一方，解き直す方が安心感があるような気もします．)

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   1. たけちゃん さん
      コメントありがとうございます。返信が遅くなりすみません。

      ご指摘の通り、当該問題には完全なる不備がありましたので、申し訳程度ですが修正しておきました。なお、与式が取り得る値はすべて手計算で求められますので、答えとしている整数値には比較的辿り着きやすいかと思います（その他の８個の複素数値が有理整数でないことも確かめられます）。

      元はと言えば、多価関数に対して取り得る値があたかも１つであるかのような表現をしていたことが問題で、「等しい」という表現はご指摘の通り、全くの誤りです･･･（修正後の表現も怪しいかもしれませんが、高校数学の範囲からの出題に拘ってはいないので、理解ある解答者には出題者の意図がそれなりに伝わるかと思います･･･）。
      ２通りの仮解答例を提示して頂きましたが、修正前の問題文に基づく限り、いずれにせよ解答不能ですね。注意が不足していました。ご指摘に感謝致します。

      また、前問の#36についてですが、$m$が整数であれば十分なので、仰る通り、解答文中に方程式を改めて書くのは余計かもしれませんね。見た目が何となくあっさりしていたので書き添えてしまいました(^_^;)

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