創作整数問題#39解法＆創作整数問題#40

最近はなかなか時間が取れず、創作整数問題は久方ぶりの更新となりました。細々と続けてきたこのシリーズもやっと40題目です。

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創作整数問題#40

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《問題#40》

関数$$f(n)=\dfrac{13}{6}n^3-\dfrac{19}{2}n^2+\dfrac{55}{3}n-8$$が$40$の倍数となるような$2018$以下の正の整数$n$の個数を求めよ。

（創作問題）

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単純な剰余に関する問題です。やるべきことが分かっていれば単に少し面倒なだけで、何ということは無いと思います。因みにこの関数$f(n)$はすべての整数$n$に対して整数値を与えますが、このことの証明は容易でしょう。

 

 

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創作整数問題#39（解き方）

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整数$n$の方程式$$\left[\left[\left[\left[\dfrac{n^2}{2}+n\right] +\dfrac{n^2}{2}+n\right] +\dfrac{n^2}{2}+n\right] +\dfrac{n^2}{2}+n\right] =4$$を解け。ただし、$[x]$は実数$x$を超えない最大の整数を表すものとする。

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まずはガウス記号の定義を簡単におさらいしておきましょう。

言葉で説明するとやや分かりにくいかもしれませんが、要するに

「実数$x$の整数部分」

を $[x]$ と表現しているだけです（$x$が負のときは「整数部分」という表現は微妙ですが･･･）。

例えば、$[3.14]=3$、$[-2.718]=-3$、$[-4]=-4$、･･･のようになります。$x$の絶対値が$1$未満のときや、$x$が負のときは高確率で間違う人が出てきます。この辺りは慣れておく必要があります。

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さて、本問はおおよその場合、次の２パターンの解法（※）が考えられます。

①不等式を利用する方法

②$n$の偶奇性に着目する方法

いずれの方法でも解答可能ではありますが、この問題の場合は計算ミスを抑えられる②の解法の方が有利かもしれません。

（※2018/05/17追記）
HN たけちゃん さんからコメント欄にて、エレガントな別解を頂きました！

 

 解答例①

$t=\dfrac{n^2}{2}+n$ と置くと、与式は$$\left[\left[\left[\left[t\right] +t\right] +t\right] +t\right] =4$$となる。ガウス記号の性質より、$$4 \leqq \left[\left[\left[t\right] +t\right] +t\right] +t <5 \tag{1}$$を得る。ここで $m=\left[\left[t\right] +t\right]$ と置くと、$$m+t-1 < [m+t] \leqq m+t$$が成り立ち、この各辺に$t$を加えることで$$m+2t-1 < [m+t]+t \leqq m+2t \tag{2}$$を得る。$(1)$及び$(2)$より、これらの不等式を満たす$m$、$t$が存在するためには$$\begin{cases}m+2t-1 < 5 \\ m+2t \geqq 4 \end{cases}$$が必要である。これより$$\therefore 4 \leqq m+2t < 6 \tag{★}$$を得る。

また、$t-1 < [t] \leqq t$ より、この各辺に$t$を加えることで$$2t-1<[t]+t\leqq 2t$$を得る。これより、ガウス記号を取ると$$\therefore 2t-2<[[t]+t]\leqq 2t$$となるので、辺々に$2t$を加えて$$4t-2<m+2t\leqq 4t \tag{3}$$を得る。よって$(★)$を満たす$m$、$t$が存在するためには$$\begin{cases}4 \leqq 4t \\ 4t-2<6  \end{cases}$$が必要である。これより$$\therefore 1 \leqq t < 2$$が必要となる。よって$$1 \leqq \dfrac{n^2}{2}+n < 2$$

$\therefore -1-\sqrt{5}<n\leqq -1-\sqrt{3}$ かつ $\sqrt{3}-1<n\leqq \sqrt{5}-1$

を得る。これより $n=-3$ または $n=1$ に絞られるが、$n=-3$ のとき$$t=\dfrac{9}{2}-3=1.5$$となり $[t]=1$ となるので適する。また、$n=1$ のときも$$t=\dfrac{1}{2}+1=1.5$$となり $[t]=1$ となるので適する。

以上より、求める整数$n$は$$\color{red}{n=-3,\ 1}$$となる。

 

 解答例②

以下、$N$を整数とする。

（ア）$n=2N$ のとき、$\dfrac{n^2}{2}+n=2N^2+2N$ より、与式の左辺は

$$\scriptsize \begin{align}&\ \ \ \ \ \left[\left[\left[\left[\dfrac{n^2}{2}+n\right] +\dfrac{n^2}{2}+n\right] +\dfrac{n^2}{2}+n\right] +\dfrac{n^2}{2}+n\right] \\
&=\left[\left[\left[\left[2N^2+2N\right] +2N^2+2N\right] +2N^2+2N\right] +2N^2+2N\right] \\
&=\left[\left[\left[4N^2+4N\right] +2N^2+2N\right] +2N^2+2N\right] \\
&=\left[\left[6N^2+6N\right] +2N^2+2N\right] \\
&=\left[8N^2+8N\right] \\
&=8N^2+8N \end{align}$$

と整理できるから、与式は$$8N^2+8N=4$$と書き直せるが、左辺は$8$の倍数であるのに右辺は$8$の倍数でないので不合理。よってこのときは解が存在しない。

（イ）$n=2N+1$ のとき、$\dfrac{n^2}{2}+n=2N^2+4N+\dfrac{3}{2}$ より、与式の左辺は

$$\scriptsize \begin{align}&\ \ \ \ \ \left[\left[\left[\left[\dfrac{n^2}{2}+n\right] +\dfrac{n^2}{2}+n\right] +\dfrac{n^2}{2}+n\right] +\dfrac{n^2}{2}+n\right] \\
&=\left[\left[\left[\left[2N^2+4N+\dfrac{3}{2}\right] +2N^2+4N+\dfrac{3}{2}\right] +2N^2+4N+\dfrac{3}{2}\right] +2N^2+4N+\dfrac{3}{2}\right] \\
&=\left[\left[\left[(2N^2+4N+1) +2N^2+4N+\dfrac{3}{2}\right] +2N^2+4N+\dfrac{3}{2}\right] +2N^2+4N+\dfrac{3}{2}\right] \\
&=\left[\left[\left[4N^2+8N+\dfrac{5}{2}\right] +2N^2+4N+\dfrac{3}{2}\right] +2N^2+4N+\dfrac{3}{2}\right] \\
&=\left[\left[(4N^2+8N+2) +2N^2+4N+\dfrac{3}{2}\right] +2N^2+4N+\dfrac{3}{2}\right] \\
&=\left[\left[6N^2+12N+\dfrac{7}{2}\right] +2N^2+4N+\dfrac{3}{2}\right] \\
&=\left[(6N^2+12N+3) +2N^2+4N+\dfrac{3}{2}\right] \\
&=\left[8N^2+16N+\dfrac{9}{2}\right] \\
&=8N^2+16N+4 \end{align}$$

と整理できるから、与式は$$8N^2+16N+4=4$$と書き直せて、これより$$N=-2,\ 0$$を得る。

以上より、求める整数$n$は$$\color{red}{n=-3,\ 1}$$となる。

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