創作整数問題#48解法&創作整数問題#49

平成最後の大晦日を迎えますが、毎年恒例の渋谷駅前のカウントダウンは一段と盛り上がりそうです。ハロウィンでの騒動の件もありましたので、今回はいつも以上に穏やかに行われて欲しいものですね・・・。


創作整数問題#49


《問題#49》

k=1n1k2以上の任意の整数nに対して整数にならないことを示せ。

(創作問題)


創作問題としてはいますが、かなり有名な問題だと思います。

 

 

証明問題につき、解答は次回掲載します!

» 《おまけ問題》

《おまけ問題》

pを正の整数とするとき、k=1n1kp2以上の任意の整数nに対して整数にならないことを示せ。

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創作整数問題#48(解き方)



「下2桁」というのが意外に曲者だったのではないでしょうか。題意を数式で表現すると、・・・ (A)5n1(mod482)を満たすような最小の自然数nを求めよ、ということになります。10進法の場合だと下2桁が01となるのは5n1(mod102)となるときなので、1048に変えれば48進法の場合になります。

さて、あるnについて5n482(=2832)で割ったときの余りが1になるには、まず5n32、即ち9で割ったときの余りが1となる必要があります(必要条件による絞り込み)。

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(1)mod32 を考える

5n1(mod3)となるのはnが偶数のときです。これは 52=251(mod3) であることから分かります。次にmod9 を考えますが、nが偶数のときのみを考えればよく、52=252(mod9) より、56(2)3=81(mod9)がすぐに分かりますので、・・・ (B)5n1(mod9)を満たすような自然数n6の倍数であることが分かりました。

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(2)mod28 を考える

次にmod256 を考えますが、(1)の考察よりn6の倍数のときのみを考えればよく、56=156259(mod256) であることはすぐ計算できます。ただ、このままmod256 で始めても良いのですが、256というのは法としてはやや大きい数なので上手く絞り込まなければ解の候補の数が膨れ上がってしまいます。

そこでまずmod16 で考えてみます。すると54=6251(mod16)がすぐに分かりますので、自然数nは少なくとも4の倍数でなければなりません。もう少し絞り込んでみましょう。

次にmod32 を考えますが、先ほどの計算から、n4の倍数でなければならないので、少し計算して 581(mod32) を得ます(このとき 5417(mod32) となって1にならないことを確認しています)。

全く同様にして 5161(mod64) を得ます(このとき 5833(mod64) となって1にならないことを確認しています)。

・・・そろそろ計算も面倒になって来るので、次の補題を示しておきましょう。

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《補題》

0以上の整数kに対して52k2k+2+1(mod2k+3)が成り立つ

(証明)

k=0 のとき、522+1(mod23) となり成り立っている。

lをある自然数とし、k=l のとき、関係式52l2l+2+1(mod2l+3)が成り立っていると仮定すると、Nをある整数として52l+1=522l=(52l)2=(2l+3N+2l+2+1)2=22(l+3)N2+22(l+2)+\colorred1     +22(l+3)N+\colorred2l+3+2l+4N\colorred2l+3+1(mod2l+4)と計算できる。これより k=l+1 のときも成り立つから、0以上の任意の整数kに対して52k2k+2+1(mod2k+3)が成り立つことが示された。

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この補題を利用することで、

51665(mod128)5321(mod128)

532129(mod256)5641(mod256)

がそれぞれ簡単に得られます。

したがって、・・・ (C)5n1(mod256)を満たすような自然数n64の倍数であることが分かりました。

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以上(1)と(2)の考察より、方程式(A)を満たすような自然数nについて、6の倍数かつ64の倍数、即ち192の倍数であることが必要十分なので、最小の自然数nn=\colorred192と求めることができます。


(コメント)

48進法ということで少し身構えてしまうかもしれませんが、要はmodの計算だけですね。

また、補題ということでわざわざ52k2k+2+1(mod2k+3)という関係式を示しましたが、これは、

521(mod23)n2の倍数
541(mod24)n4の倍数
581(mod25)n8の倍数
5161(mod26)n16の倍数

という仕組みになっているためです。もちろん52k1(mod2k+2)という関係式も帰納法で簡単に証明できますし、補題なんぞ示さずにひたすら計算してゴリ押すこともできます。

また、冪の合同式について次の定理が知られています。

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《定理》

ab(modn)  anbn(modn2)

(証明)

anbn=(ab)(an1+an2b++bn1)より、ab(modn)のとき、1つ目の括弧内はnで割り切れる。また、2つ目の括弧内にはn個の項が存在しており、ab(modn)であるから、    an1+an2b++bn1an1+an1++an1=nan10(modn)となる。故に2つ目の括弧内もnで割り切れるから、anbnn2で割り切れる。

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これより、実は 541(mod48) が分かった時点で5448=51921(mod482)が分かってしまいます(上記の定理で (a,b,n)=(5,1,48) とした場合に相当します)。

ところがこの定理は必要性しか保証しないので、十分性、つまり5n1(mod482)を満たすn192(の倍数)しか存在しない、ということまでは保証していません。

本問のケースでは偶然にも最小解が得られましたが、例えば5n1(mod\colorred422)を満たすnを求める際には利用できません。実際、5n1(mod42)を満たす最小のn6なので、42倍すると252となりますが、5n1(mod422)を満たす最小のnは、その7倍の42であることが確かめられます。


なお、解答例で証明した補題は管理人が問題を解いているときに見つけたものなので、広く知られているものではないと思います・・・。良い別解もありそうな気がします。

 

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