2ヶ月も創作整数問題シリーズをほったらかしてしまいました(^_^;)
年度末はなぜこうも忙しいものなのでしょうか･･･(笑)
創作整数問題#53
《問題#53》
$s_n=5^n+3^n$ を$1001$で割った余りが$1$となるような正の整数$n$をすべて求めよ。
（創作問題）
特にヒントは不要でしょう！(笑)
なお、蛇足ですが、$1001$は素数ではありません。
» 答えはこちら
答えは $n=\color{red}{60 l+17}$ です。ただし $l$ は$0$以上の整数。
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創作整数問題#52（解き方）
| 方程式 $a^2 b=a^3+3b^5$ を満たす整数の組$(a,\,b)$は無数に存在することを示せ。 |
創作整数問題#50の類題ですが、次数が上がっています。ここでも変数の最大公約数を設定する解法が有効です。
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解答例
まず $(a,\,b)=(0,\,0)$ は方程式$$a^2 b=a^3+3b^5 \ \ \ \cdots(★)$$の解であり、整数$a$、$b$の一方を$0$とすると他方も$0$となるから、$a$、$b$はいずれも$0$でないとする。
整数$a$、$b$の最大公約数を$g$とし、$$\begin{cases}a=Ag \\ b=Bg\end{cases}$$（ただし$A$、$B$は互いに素な整数）と置き、方程式$(★)$にそれぞれ代入して整理すると、$$A^2 B=A^3+3g^2 B^5$$ $$\therefore (A^2-3g^2 B^4)B=A^3$$を得る。これより$B$は$A^3$を割り切るが、整数$A$、$B$は互いに素であるから$B$は$\pm 1$に限られる。これより$b$は$a$を割り切るから、$0$でない整数$c$を用いて$$a=bc$$と置ける。これを$(★)$に代入すると、$$b^3 c^2=b^3 c^3+3 b^5$$ $$\therefore c^2=c^3+3b^2$$ $$\therefore c^2(1-c)=3b^2 \ \ \ \cdots(♠)$$と整理できる。これより$c^2$は$3b^2$を割り切るが、$3$は平方因子をもたないので$c^2$は$b^2$を割り切る。よって$c$は$b$の約数となる。そこで$n$を整数として$$b=cn$$と表すと、$(♠)$より、$$c^2(1-c)=3c^2 n^2$$ $$\therefore c=-(3n^2-1)$$を得る。
これより、$n$を任意の整数として方程式$(★)$の解は$$(a,\,b)=\left(n(3n^2-1)^2,\,-n(3n^2-1)\right)$$と表せる。これより、$n$の値を様々に変えれば異なる整数の組が無数に得られるから、方程式$(★)$を満たす整数の組が無数に存在することが示された。
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（コメント）
ディオファントス方程式の一般解を求めさせる問題は数学コンテストなどでよく出題されることがあります。
例えば、2007年の第17回日本数学オリンピック(予選)の第9問に
「方程式$$a^2 b^2=4a^5+b^3$$を満たす整数の組$(a,b)$はいくつあるか」
という出題があります。ただしこちらの方程式の解の個数は有限個です。
(2019/04/08追記)
解答例の議論の流れを一部改めました。
細かいことですが，βは0でない整数だから，3β^2-1>0であり，
γ=1のときは，g’=-(3β^2-1)となった時点で，g'<0より不適ですね．
c^2=c^3+3b^2を得た時点で，(1-c)c^2=3b^2であり，
c^2は3b^2の約数となって，3は平方因子を持たないから，
cはbの約数とわかります．
b=cn (nは整数)とおくと，c^2=c^3+3(cn)^2より
1=c+3n^2，c=1-3n^2となり，
b=cn=n(1-3n^2),a=bc=n(1-3n^2)^2
が得られます．
たけちゃん さん
いつもコメントありがとうございます！
$$(1-c)c^2=3b^2$$と変形してしまえば$b$と$c$の最大公約数を仮定せずに議論できますね。
これと比較すると解答例はやや回りくどい印象を受けます…。後ほど手直ししておこうと思います。
ご指摘ありがとうございました！