創作整数問題#54解法＆創作整数問題#55

解答例

 

与方程式$$5408=a^2+b^2+c^2$$の左辺は$4$の倍数である。ここで平方数$n^2$（$n$は整数とする）を$4$で割った余りを考える。$mod4$ で$n^2$の剰余を分類すると以下の表のようになる。

 

$n$	0	1	2	3
$n^2$	0	1	0	1

これより、右辺が$4$の倍数となるためには$a$、$b$、$c$がいずれも偶数でなければならない。そこで $a=2a_1$、$b=2b_1$、$c=2b_1$（ただし$a_1$、$b_1$、$c_1$はいずれも正の整数）と置ける。

 

よって与方程式は$$1352=a_1^2+b_1^2+c_1^2$$と書き直せるが、この左辺は$4$の倍数なので同様に考えると、$a_1$、$b_1$、$c_1$のいずれも偶数でなければならない。よって、さらに $a_1=2a_2$、$b_1=2b_2$、$c_1=2b_2$（ただし$a_2$、$b_2$、$c_2$はいずれも正の整数）と置ける。

 

これより、与方程式は$$338=a_2^2+b_2^2+c_2^2\cdots (★)$$と書き直せる。$(★)$の左辺を$3$で割った余りは$2$、$4$で割った余りは$2$、$5$で割った余りは$3$であり、平方数$n^2$（$n$は整数とする）を$3$および$5$で割った余りはそれぞれ以下の表のようになる。

 

（$\text{mod}3$）

$n$	0	1	2
$n^2$	0	1	1

（$\text{mod}5$）

$n$	0	1	2	3	4
$n^2$	0	1	4	4	1

これより、方程式$(★)$を満たすべき$a_2$、$b_2$、$c_2$の組について、以下の条件が必要となる。

 

① $a_2$、$b_2$、$c_2$のうち１つのみが偶数

② $a_2$、$b_2$、$c_2$のうち１つのみが$3$の倍数

③ $a_2^2$、$b_2^2$、$c_2^2$は $\text{mod}5$ で$0$、$4$、$4$もしくは$1$、$1$、$1$の組み合わせのみが可能

 

$a>b>c$ より、$a_2>b_2>c_2$ であるから、$$338=a_2^2+b_2^2+c_2^2<3a_2^2$$ $$\therefore {\displaystyle \frac{338}{3}}(=112.66\dots )<a_2^2<338$$ $$\therefore 11\leqq a_2\leqq 18$$に絞られる。

 

ⅰ）$a_2=11$ のとき$$217=b_2^2+c_2^2$$および $b_2>c_2$ より、$b_2\geqq 11$ が必要となるが、これは $a_2>b_2$ に反し不適。

 

ⅱ）$a_2=12$ のとき$$194=b_2^2+c_2^2<2b_2^2$$より、$$b_2=10,11,12,13$$を得るが $a_2>b_2$ より、$b_2=10,11$ となる。$b_2=10$ は①に反し不適。$b_2=11$ は③に反し不適。

 

ⅲ）$a_2=13$ のとき$$169=b_2^2+c_2^2<2b_2^2$$より、$$b_2=10,11,12$$を得る。$b_2=10$ のとき $c_2^2=69$ となるがこれは不適。$b_2=11$ は③に反し不適。$b_2=12$ のとき $c_2^2=25$ となり $c_2=5$ を得る。よって$$(a,b,c)=(52,48,20)$$は求める解の一つである。

 

ⅳ）$a_2=14$ のとき$$142=b_2^2+c_2^2<2b_2^2$$より、$$b_2=9,10,11,12$$を得る。$b_2=9$ のとき $c_2^2=61$ となるがこれは不適。$b_2=10$ は①に反し不適。$b_2=11$ のとき $c_2^2=21$ となるがこれは不適。$b_2=12$ は①に反し不適。

 

ⅴ）$a_2=15$ のとき$$113=b_2^2+c_2^2<2b_2^2$$より、$$b_2=8,9,10$$を得る。$b_2=8$ のとき $c_2^2=49$ となり $c_2=7$ を得る。よって$$(a,b,c)=(60,32,28)$$は求める解の一つである。$b_2=9$ のときは②に反し不適。$b_2=10$ は③に反し不適。

 

ⅵ）$a_2=16$ のとき$$82=b_2^2+c_2^2<2b_2^2$$より、$$b_2=7,8,9$$を得る。$b_2=7$ は③に反し不適。$b_2=8$ のときは①に反し不適。$b_2=9$ のとき $c_2^2=1$ となり $c_2=1$ を得る。よって$$(a,b,c)=(64,36,4)$$は求める解の一つである。

 

ⅵ）$a_2=17$ のとき$$49=b_2^2+c_2^2<2b_2^2$$より、$$b_2=5,6$$を得るが、$b_2=5$ のとき $c_2^2=24$ となり不適。$b_2=6$ のとき $c_2^2=13$ となり不適。

 

ⅶ）$a_2=18$ のとき$$14=b_2^2+c_2^2<2b_2^2$$より、$$b_2=3$$を得るが、これは②に反するので不適。

 

 

以上より、求める正の整数の組は$$(a,b,c)=(52,48,20),(60,32,28),(64,36,4)$$である。

□