創作整数問題#54解法&創作整数問題#55

最近は随分と日が長くなってきましたね!


創作整数問題#55


《問題#55》

55p+1 が立方数となるような素数pが存在しないことを示せ。

(創作問題)


簡単でしょうか?

 

 

証明問題につき、解答は次回掲載します!


創作整数問題#54(解き方)



問題自体は非常に単純です。有限個の組しかないと即座に判断できるので、効率よく探していきましょう。

平方数を扱っているので、まずは345あたりの数を法とした合同式を考えてみましょう。予め必要条件を求めておくと、煩雑な計算をする前に候補を棄却できることがあります。

●   ●   ●

解答例

 

与方程式5408=a2+b2+c2の左辺は4の倍数である。ここで平方数n2nは整数とする)を4で割った余りを考える。mod4n2の剰余を分類すると以下の表のようになる。

 

n 0 1 2 3
n2 0 1 0 1

これより、右辺が4の倍数となるためにはabcがいずれも偶数でなければならない。そこで a=2a1b=2b1c=2b1(ただしa1b1c1はいずれも正の整数)と置ける。

 

よって与方程式は1352=a12+b12+c12と書き直せるが、この左辺は4の倍数なので同様に考えると、a1b1c1のいずれも偶数でなければならない。よって、さらに a1=2a2b1=2b2c1=2b2(ただしa2b2c2はいずれも正の整数)と置ける。

 

これより、与方程式は338=a22+b22+c22   ()と書き直せる。()の左辺を3で割った余りは24で割った余りは25で割った余りは3であり、平方数n2nは整数とする)を3および5で割った余りはそれぞれ以下の表のようになる。

 

mod 3

n 0 1 2
n2 0 1 1

mod 5

n 0 1 2 3 4
n2 0 1 4 4 1

これより、方程式()を満たすべきa2b2c2の組について、以下の条件が必要となる。

 

a2b2c2のうち1つのみが偶数

a2b2c2のうち1つのみが3の倍数

a22b22c22mod 5044もしくは111の組み合わせのみが可能

 

a>b>c より、a2>b2>c2 であるから、338=a22+b22+c22<3a22 3383(=112.66)<a22<338 11a218に絞られる。

 

ⅰ)a2=11 のとき217=b22+c22および b2>c2 より、b211 が必要となるが、これは a2>b2 に反し不適。

 

ⅱ)a2=12 のとき194=b22+c22<2b22より、b2=10,11,12,13を得るが a2>b2 より、b2=10,11 となる。b2=10 は①に反し不適。b2=11 は③に反し不適。

 

ⅲ)a2=13 のとき169=b22+c22<2b22より、b2=10,11,12を得る。b2=10 のとき c22=69 となるがこれは不適。b2=11 は③に反し不適。b2=12 のとき c22=25 となり c2=5 を得る。よって(a,b,c)=(52,48,20)は求める解の一つである。

 

ⅳ)a2=14 のとき142=b22+c22<2b22より、b2=9,10,11,12を得る。b2=9 のとき c22=61 となるがこれは不適。b2=10 は①に反し不適。b2=11 のとき c22=21 となるがこれは不適。b2=12 は①に反し不適。

 

ⅴ)a2=15 のとき113=b22+c22<2b22より、b2=8,9,10を得る。b2=8 のとき c22=49 となり c2=7 を得る。よって(a,b,c)=(60,32,28)は求める解の一つである。b2=9 のときは②に反し不適。b2=10 は③に反し不適。

 

ⅵ)a2=16 のとき82=b22+c22<2b22より、b2=7,8,9を得る。b2=7 は③に反し不適。b2=8 のときは①に反し不適。b2=9 のとき c22=1 となり c2=1 を得る。よって(a,b,c)=(64,36,4)は求める解の一つである。

 

ⅵ)a2=17 のとき49=b22+c22<2b22より、b2=5,6を得るが、b2=5 のとき c22=24 となり不適。b2=6 のとき c22=13 となり不適。

 

ⅶ)a2=18 のとき14=b22+c22<2b22より、b2=3を得るが、これは②に反するので不適。

 

 

以上より、求める正の整数の組は(a,b,c)=(52,48,20),(60,32,28),(64,36,4)である。


(コメント)

非常に単純な問題ですが、最初の段階で左辺が4の倍数であることに着目したことで、候補の範囲をかなり絞り込むことができました。有限個の解しかないと考えられる問題では、如何に効率よく解を求められるかが重要となります。

 

余談ですが本問の方程式の左辺の数字は、問題#54で「令和(08)」ということで採用してみました(笑)。

 

※注:上記の解答例の場合分けの中で、a2>b2 という条件を暗に使用しています。


 

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