最近は随分と日が長くなってきましたね!
創作整数問題#55
《問題#55》
が立方数となるような素数が存在しないことを示せ。
(創作問題)
簡単でしょうか?
証明問題につき、解答は次回掲載します!
創作整数問題#54(解き方)
問題自体は非常に単純です。有限個の組しかないと即座に判断できるので、効率よく探していきましょう。
平方数を扱っているので、まずは、、あたりの数を法とした合同式を考えてみましょう。予め必要条件を求めておくと、煩雑な計算をする前に候補を棄却できることがあります。
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解答例
与方程式の左辺はの倍数である。ここで平方数(は整数とする)をで割った余りを考える。 での剰余を分類すると以下の表のようになる。
これより、右辺がの倍数となるためには、、がいずれも偶数でなければならない。そこで 、、(ただし、、はいずれも正の整数)と置ける。
よって与方程式はと書き直せるが、この左辺はの倍数なので同様に考えると、、、のいずれも偶数でなければならない。よって、さらに 、、(ただし、、はいずれも正の整数)と置ける。
これより、与方程式はと書き直せる。の左辺をで割った余りは、で割った余りは、で割った余りはであり、平方数(は整数とする)をおよびで割った余りはそれぞれ以下の表のようになる。
()
()
これより、方程式を満たすべき、、の組について、以下の条件が必要となる。
① 、、のうち1つのみが偶数
② 、、のうち1つのみがの倍数
③ 、、は で、、もしくは、、の組み合わせのみが可能
より、 であるから、 に絞られる。
ⅰ) のときおよび より、 が必要となるが、これは に反し不適。
ⅱ) のときより、を得るが より、 となる。 は①に反し不適。 は③に反し不適。
ⅲ) のときより、を得る。 のとき となるがこれは不適。 は③に反し不適。 のとき となり を得る。よっては求める解の一つである。
ⅳ) のときより、を得る。 のとき となるがこれは不適。 は①に反し不適。 のとき となるがこれは不適。 は①に反し不適。
ⅴ) のときより、を得る。 のとき となり を得る。よっては求める解の一つである。 のときは②に反し不適。 は③に反し不適。
ⅵ) のときより、を得る。 は③に反し不適。 のときは①に反し不適。 のとき となり を得る。よっては求める解の一つである。
ⅵ) のときより、を得るが、 のとき となり不適。 のとき となり不適。
ⅶ) のときより、を得るが、これは②に反するので不適。
以上より、求める正の整数の組はである。
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(コメント)
非常に単純な問題ですが、最初の段階で左辺がの倍数であることに着目したことで、候補の範囲をかなり絞り込むことができました。有限個の解しかないと考えられる問題では、如何に効率よく解を求められるかが重要となります。
余談ですが本問の方程式の左辺の数字は、問題#54で「令和(08)」ということで採用してみました(笑)。
※注:上記の解答例の場合分けの中で、 という条件を暗に使用しています。