創作整数問題#55解法＆創作整数問題#56

解答例

$55p+1$ は明らかに正なので、正の整数$k$を用いて$$55p+1=k^3$$と置ける。これは$$\begin{align} 55p &= k^3-1 \\ &= (k-1)(k^2+k+1) \end{align}$$と式変形できる。

以下、$55p=5 \cdot 11 \cdot p$ の約数で場合分けする。

a) $(k-1,\,k^2+k+1)=(1,55p)$ のとき、$k=2$ となるが、$7=55p$ を満たす素数$p$は存在しない。よって不適。

b) $(k-1,\,k^2+k+1)=(5,11p)$ のとき、$k=6$ となるが、$43=11p$ を満たす素数$p$は存在しない。よって不適。

c) $(k-1,\,k^2+k+1)=(11,5p)$ のとき、$k=12$ となるが、$157=5p$ を満たす素数$p$は存在しない。よって不適。

d) $(k-1,\,k^2+k+1)=(55,p)$ のとき、$k=56$ となるが、$3193=31 \cdot 103$ と合成数なので不適。

e) $(k-1,\,k^2+k+1)=(p,55)$ のとき、$k=p+1$ であり、$$\begin{align} k^2+k+1 &= (p+1)^2+(p+1)+1 \\ &= p^2 + 3 p + 3 \end{align}$$より、$$p^2 + 3 p + 3 = 55$$となるが、これを素数$p$について解くと $p = -\dfrac{3 \pm \sqrt{217}}{2}$ となり不適。

f) $(k-1,\,k^2+k+1)=(5p,11)$ のとき、$k-1<k^2+k+1$ を満たすには $p=2$ であることが必要だが、このとき$$55p+1=111$$となり、これは立方数でないため不適。

g) $(k-1,\,k^2+k+1)=(11p,5)$ および $(55p,1)$ のとき、$k-1<k^2+k+1$ を満たさず不適。

以上ですべての場合を尽くしているが、いずれのときも $55p+1$ は立方数とならない。したがって $55p+1$ が立方数となるような素数$p$は存在しないことが示された。

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