創作整数問題#57解法＆創作整数問題#58

解答例

$s_n$を$10$進法表示すると$$2\cdot 7^0+2\cdot 7^1+2\cdot 7^2+\cdots +2\cdot 7^{n-1}$$となるから、$$s_n=2\cdot (7^0+7^1+7^2+\cdots +7^{n-1})$$ $$\therefore s_n=2\cdot {\displaystyle \frac{7^n-1}{7-1}}$$ $$\therefore s_n={\displaystyle \frac{1}{3}}(7^n-1)$$と表される。$3$は$10$の約数ではないから、${\displaystyle \frac{1}{3}}(7^n-1)$ が$10$で割り切れる回数と $7^n-1$ が$10$で割り切れる回数は等しい。これより、本問は $7^n-1$ の下3桁が$000$となるような最小の$n$を求める問題に帰着する。

$7^n-1$ の下3桁が$000$となる、即ち $7^n-1$ が$1000$の倍数になるのは、$7^n$を$1000$で割ったときの余りが$1$となるときである。

ここで、$$7^2=49\equiv -1(\mathrm{mod}10)$$より、$$7^4\equiv 1(\mathrm{mod}10)$$が成り立つので、$n$は$4$の倍数であることが必要である。いま、$$7^4\equiv 401(\mathrm{mod}1000)$$であり、$$7^8\equiv {401}^2\equiv 801(\mathrm{mod}1000)$$ $$7^{12}\equiv 401\cdot 801\equiv 201(\mathrm{mod}1000)$$ $$7^{16}\equiv 401\cdot 201\equiv 601(\mathrm{mod}1000)$$ $$7^{20}\equiv 401\cdot 601\equiv 1(\mathrm{mod}1000)$$となるから、$s_n$を$10$進法表示すると下3桁が$000$となるような最小の正の整数$n$は$$n=20$$と求められる。