創作整数問題#57解法＆創作整数問題#58

解答例

$s_n$を$10$進法表示すると$$2 \cdot 7^0+2 \cdot 7^1+2 \cdot 7^2+\cdots+2 \cdot 7^{n-1}$$となるから、$$s_n=2 \cdot (7^0+7^1+7^2+\cdots+7^{n-1})$$ $$\therefore s_n=2 \cdot \dfrac{7^n-1}{7-1}$$ $$\therefore s_n=\dfrac{1}{3}(7^n-1)$$と表される。$3$は$10$の約数ではないから、$\dfrac{1}{3}(7^n-1)$ が$10$で割り切れる回数と $7^n-1$ が$10$で割り切れる回数は等しい。これより、本問は $7^n-1$ の下3桁が$000$となるような最小の$n$を求める問題に帰着する。

$7^n-1$ の下3桁が$000$となる、即ち $7^n-1$ が$1000$の倍数になるのは、$7^n$を$1000$で割ったときの余りが$1$となるときである。

ここで、$$7^2=49 \equiv -1 \pmod{10}$$より、$$7^4 \equiv 1 \pmod{10}$$が成り立つので、$n$は$4$の倍数であることが必要である。いま、$$7^4 \equiv 401 \pmod{1000}$$であり、$$7^8 \equiv 401^2 \equiv 801 \pmod{1000}$$ $$7^{12} \equiv 401 \cdot 801 \equiv 201 \pmod{1000}$$ $$7^{16} \equiv 401 \cdot 201 \equiv 601 \pmod{1000}$$ $$7^{20} \equiv 401 \cdot 601 \equiv 1 \pmod{1000}$$となるから、$s_n$を$10$進法表示すると下3桁が$000$となるような最小の正の整数$n$は$$n=\color{red}{20}$$と求められる。