創作整数問題#57解法&創作整数問題#58

本日は「クリスマスツリーの日」です。横浜で外国人船員のためにクリスマスツリーが飾られたのが1886年の12月7日であることに由来するそうです。

さて、今回の創作整数問題は皆さんお馴染みの2次方程式の判別式がテーマです。


創作整数問題#58


《問題#58》

ab を整数とし、実数xの2次方程式x2+ax+b=0   ()に対して D=a24b と置く。このとき、方程式()の2解が整数となることと、D が平方数となることは同値であることを示せ。

(創作問題)


2次方程式の判別式を題材としてみました。経験的にはよく知られている事実だと思いますが、証明まではしたことがないという人は多いかもしれませんね。

 

 

証明問題につき、解答は次回掲載します!


創作整数問題#57(解き方)



7進数なので、まずはこれを10進法表示に変換しましょう。あとはsnをどういう「数列」と見るかだけです。

●   ●   ●

解答例

 

sn10進法表示すると270+271+272++27n1となるから、sn=2(70+71+72++7n1) sn=27n171 sn=13(7n1)と表される。310の約数ではないから、13(7n1)10で割り切れる回数と 7n110で割り切れる回数は等しい。これより、本問は 7n1 の下3桁が000となるような最小のnを求める問題に帰着する。

 

7n1 の下3桁が000となる、即ち 7n11000の倍数になるのは、7n1000で割ったときの余りが1となるときである。

 

ここで、72=491(mod10)より、741(mod10)が成り立つので、n4の倍数であることが必要である。いま、74401(mod1000)であり、784012801(mod1000) 712401801201(mod1000) 716401201601(mod1000) 7204016011(mod1000)となるから、sn10進法表示すると下3桁が000となるような最小の正の整数nn=20と求められる。


(コメント)

n4の倍数」という必要条件は mod 5 を用いても得られます。74k(mod1000) の場合を考えればよいことに気が付けば、あとは計算するだけです。


 

“創作整数問題#57解法&創作整数問題#58” への2件の返信

  1. 反例: a=2,b=1で,整数解x=-1,D=-7(非平方数).

    当然ながら,D=a^2-4bですよね.

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