本日は「クリスマスツリーの日」です。横浜で外国人船員のためにクリスマスツリーが飾られたのが1886年の12月7日であることに由来するそうです。
さて、今回の創作整数問題は皆さんお馴染みの2次方程式の判別式がテーマです。
創作整数問題#58
《問題#58》
、 を整数とし、実数の2次方程式に対して と置く。このとき、方程式の2解が整数となることと、 が平方数となることは同値であることを示せ。
(創作問題)
2次方程式の判別式を題材としてみました。経験的にはよく知られている事実だと思いますが、証明まではしたことがないという人は多いかもしれませんね。
証明問題につき、解答は次回掲載します!
創作整数問題#57(解き方)
進数なので、まずはこれを進法表示に変換しましょう。あとはをどういう「数列」と見るかだけです。
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解答例
を進法表示するととなるから、 と表される。はの約数ではないから、 がで割り切れる回数と がで割り切れる回数は等しい。これより、本問は の下3桁がとなるような最小のを求める問題に帰着する。
の下3桁がとなる、即ち がの倍数になるのは、をで割ったときの余りがとなるときである。
ここで、より、が成り立つので、はの倍数であることが必要である。いま、であり、 となるから、を進法表示すると下3桁がとなるような最小の正の整数はと求められる。
(コメント)
「がの倍数」という必要条件は を用いても得られます。 の場合を考えればよいことに気が付けば、あとは計算するだけです。
反例: a=2,b=1で,整数解x=-1,D=-7(非平方数).
当然ながら,D=a^2-4bですよね.
たけちゃん さん
ご指摘ありがとうございます。
しょうもないミスでしたね…
修正しました。