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創作整数問題#6解法&創作整数問題#7


こんにちは、pencilです。問題#6は記数法を題材としていますが、そもそも記数法とは何なのかが分からなければ門前払いを食らいます。その辺も少し解説します。


《問題#7》

ある地域では10進法が用いられておらず、2000円をその地域に持っていくとちょうど税込1313円の品物が4個買えるという。さて、この地域では何進法が用いられているか。

(創作問題)


前回に引き続き記数法の問題です。何となく見た目がなぞなぞっぽいですが、歴とした数学の問題です(笑)。

 

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答えは 7進法 です。詳しい解答は後日。

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創作整数問題#6(解き方)


記数法とは2以上の整数gを用いてある実数xx=angn+an1gn1++a1g+a0+a1g+と表すことを指し、これをg進記数法と言います。an1以上g1以下の整数、an1はいずれも0以上g1以下の整数です。私達が日常生活で使用しているのは10進法が主ですが、時計では60進法、12(24)進法が使われていますし、コンピュータの中には2進法という01の世界が広がっています。

具体例で見ていきましょう。例えば100という数は64+32+4=26+25+22と表されるので2進法では1100100と表示されます。また、34+232+1と表されるので3進法では10201と表示されます。同様に4進法では12105進法では4006進法では244、・・・と表示されます。筆算のようにして◯進法を別の△進法に直す計算方法が知られていますが、理屈をきちんと理解しておけばどんな変換方法でも構わないでしょう。本問のように桁の中に文字が含まれている場合は10進数に直して方程式を立てるのが常道です。

さて、前回の問題では「abc はこの順に等比数列を成す」というヒントにより答えが6通りに絞られます。abc は互いに異なり、かつ0ではないので、N

124139248421842931

の6つのいずれかとなります。(1)は簡単です。5進法で表すと3桁の整数 ccc(5) となるようなNを求めるのですが、5進法では5以上の数字は使えないので124421以外は不適です。各桁の数について、c52+c5+c=100a+10b+c 3cb=10aという関係式が得られます。abc はいずれも正、つまり1以上ですから右辺は10以上です。c4 という条件の下で左辺 3cb10の倍数となるのは c=4b=2 のときに限られます。故に(1)で求めるNN=124となります。

(2)ではa進法を考えますが、1進法というものは考えないので a1 ですから124139は不適です。次にa進法表示が5桁になるものを探します。84=4096>84294=6561>931 なので、8428進法表示は4桁以下、9319進法表示は4桁以下となり不適です。また、26=64<248 なので2482進法表示は6桁以上となり不適です。よってNの候補は421に限られます。実際421=44+243+242+4+1となり適していますから、求めるNN=421となります。


(コメント)

(2)は桁数から絞り込むことができますので、cbbcc(a)というヒントは実は余分なのですが、候補が6通りしかないのでシラミ潰しでも問題なく押し切れます。

2016年の京大文系第3問に記数法の出題があります。こういう問題は解いていて楽しいです。別解や面白い類題を見つけた方は是非教えて頂ければと思います。

 

“創作整数問題#6解法&創作整数問題#7” への1件の返信

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