創作整数問題#60解法＆創作整数問題#61

解答例

（１）

まず次の補題を示す。

$n$、$m$ のいずれも奇数とすると、$n^{m+1}+m^{n+1}\equiv 2(\mathrm{mod}4)$ となるから補題よりこれは平方数でない。よって、$n^{m+1}+m^{n+1}$ が平方数となるとき、$n$、$m$ の少なくともどちらか一つは偶数である。

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（２）

（１）の結果より、素数 $p$、$q$ の少なくともどちらか一つは偶数、すなわち$2$である。与式は $p$、$q$ に関して対称なので一般性を失うことなく $p\leqq q$ と置ける。以下、$p=2$ として場合分けする。

（ⅰ）$p=q=2$ のとき、$$2^3+2^3=16=4^2$$となるので、このとき $p^{q+1}+q^{p+1}$ は平方数となる。

（ⅱ）$p=2$、$q\geqq 3$ のとき、整数$k$を用いて$$2^{q+1}+q^3=k^2$$と置くと、$q+1$ は偶数なので、$$\begin{array}{rl}{q}^3& =k^2-2^{q+1}\\ & =(k-2^{\frac{q+1}{2}})(k+2^{\frac{q+1}{2}})\end{array}$$と変形できる。このとき$$\{\begin{array}{l}k-2^{\frac{q+1}{2}}=1\\ k+2^{\frac{q+1}{2}}=q^3\end{array}\text{or}\{\begin{array}{l}k-2^{\frac{q+1}{2}}=q\\ k+2^{\frac{q+1}{2}}=q^2\end{array}$$のいずれかに限られる。

前者の場合、辺々の差により$$2\cdot 2^{\frac{q+1}{2}}=q^3-1$$ $$\therefore 2^{\frac{q+1}{2}+1}=(q-1)(q^2+q+1)$$を得るが、$q$は奇素数であるため $q^2+q+1$ は奇数となり、右辺が奇数の素因数をもつことになるから不合理。

後者の場合、辺々の差により$$2\cdot 2^{\frac{q+1}{2}}=q^2-q$$ $$\therefore 2^{\frac{q+1}{2}+1}=q(q-1)$$を得るが、$q$は奇素数であるため右辺が奇数の素因数をもつことになるから不合理。

以上（ⅰ）および（ⅱ）より、求める素数の組$(p,q)$は$$(p,q)=(2,2)$$となる。