こんにちは。管理人の pencil です。今回の投稿で連続投稿日数の記録を54日に伸ばすことができました！
これまでは2017/02/18～04/10の53日が最長記録で、今後この記録を更新することは無いだろうと思っていましたので、これは快挙と言っても良いのではないでしょうか！ 長引く自粛生活の恩恵(？)がこんなところに表れてしまいましたね…(笑)
創作整数問題#64
《問題#64》
$3^{4^5}+4^{5^6}$は$4000$桁以上の異なる２つの整数の積で表せることを示せ。
（創作問題）
誘導設問が無いと難問です。「異なる２つの整数の積」というところに着目すると何か思い付けるかもしれません。
証明問題につき、解答は次回掲載します！
創作整数問題#63（解き方）
| $1$と$0$が交互に並んだ$63$桁の整数$$N=\underbrace{1010 \cdots 0101}_{63桁}$$が素数でないことを示せ。 |
前回少し触れましたが、このような$1$と$0$が交互に並んだ整数で素数であるものは $101$ だけです。これを示すことにします。
解答例
以下の補題を示す。
補題：$1$と$0$が交互に並んだ整数$n$で素数であるものは $101$ のみである。
$n$が偶数の場合は明らかに素数でないから、奇数の場合のみを考えればよい。以下、$k$を正の整数とする。
$1$と$0$が交互に並んだ $2k-1$ 桁の整数$n$に対して$99$を乗じると$$99n=\underbrace{9999 \cdots 9999}_{2k\text{桁}}$$となり、$$\begin{align} 99n &= 10^{2k}-1 \\ &= (10^{k}-1)(10^{k}+1) \end{align}$$と表せる。ここで、$10^{k}-1$ と $10^{k}+1$ は互いに素な奇数であり、$99n$は２つの異なる整数の積で表されている。
$n$が整数なので$9$および$11$は $10^{k}-1$ と $10^{k}+1$ のいずれか一方を割り切るが、いま $k \geqq 3$ とすると $\dfrac{10^{k}-1}{99}>1$ となり、$n$は少なくとも２つの異なる整数の積で表されるから素数ではない。よって$n$が素数になるとすれば $k=1,\,2$ のときに限られる。
$k=1$ のとき $n=1$ であり、これは素数ではない。
$k=2$ のとき $n=101$ であり、これは素数である。
以上より、$1$と$0$が交互に並んだ整数$n$で素数であるものは $101$ のみである。
（了）
よって補題より、$$N=\underbrace{1010 \cdots 0101}_{63桁}$$は素数でない。
（コメント）
$99$を掛けるというところがミソでした。本解のように因数分解で解決しても良いですし、$N$が$101$で割り切れることを直接示してしまっても良いでしょう（寧ろこちらの方法で解く人の方が多いかもしれませんね…）。
因みに本問の$N$は以下に示した14個の素因数をもちます。
$N=$ 17 × 73 × 101 × 137 × 353 × 449 × 641 × 1409 × 19841 × 69857 × 976193 × 5882353 × 6187457 × 834427406578561