創作整数問題#66解法＆創作整数問題#67

解答例

$\alpha =\sqrt[3]{1.6+0.64\sqrt{5}}$、$\beta =\sqrt[3]{1.6-0.64\sqrt{5}}$ と置くと、$$\begin{array}{rl}{\alpha }^3+{\beta }^3& =(1.6+0.64\sqrt{5})+(1.6-0.64\sqrt{5})\\ & ={\displaystyle \frac{16}{5}}\cdots \mathrm{①}\\ {\alpha }^3-{\beta }^3& =(1.6+0.64\sqrt{5})-(1.6-0.64\sqrt{5})\\ & ={\displaystyle \frac{32\sqrt{5}}{25}}\cdots \mathrm{②}\\ \alpha \beta & =\sqrt[3]{(1.6{)}^2-(0.64\sqrt{5}{)}^2}\\ & =\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{64}{125}}}\\ & ={\displaystyle \frac{4}{5}}\cdots \mathrm{③}\end{array}$$となる。また、$$\{\begin{array}{l}{\alpha }^3+{\beta }^3=(\alpha +\beta {)}^3-3\alpha \beta (\alpha +\beta )\cdots \mathrm{④}\\ {\alpha }^3-{\beta }^3=(\alpha -\beta {)}^3+3\alpha \beta (\alpha -\beta )\cdots \mathrm{⑤}\end{array}$$と変形できるから、$t=\alpha +\beta$ と置けば、①と③より④は$${\displaystyle \frac{16}{5}}=t^3-{\displaystyle \frac{12}{5}}t$$ $$\therefore 5t^3-12t-16=0$$ $$\therefore (t-2)(5t^2+10t+8)=0\cdots \mathrm{⑥}$$と書き換えられる。ここで$$\begin{array}{rl}& 5t^2+10t+8\\ & =5(t+1{)}^2+3>0\end{array}$$より、⑥の実数解は $t=2$ のみであるから、$\alpha +\beta =2$ である。よって、$$\sqrt[3]{1.6+0.64\sqrt{5}}+\sqrt[3]{1.6-0.64\sqrt{5}}=2$$となり、整数であることが示された。

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