今日はハロウィン(Halloween)ですね！ 今年のハロウィンは例年より静かに過ごせそうですが･･･お菓子はちゃんと貰えるでしょうか(笑)？
皆さんインフルエンザの予防接種は済ませましたか？ 今シーズンは新型コロナの流行もあって各種予防接種を受けない人が多くなると予想されます。普段は周りの人の集団免疫に守られている人も今年はそうはいかないでしょう。例年予防接種に行っていないという方は行っておいた方が良いかもしれません。
創作整数問題#73
《問題#73》
整数 $a_n=8^{n+2}+9^{2n+1}$（$n=1,\,2,\,3,\cdots$）のすべてを割り切る素数を求めよ。
（創作問題）
よくある指数型数列の整除性に関する整数問題です。
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答えは $73$ です。
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創作整数問題#72（解き方）
| $3$乗すると下$4$桁の数字が$7272$になるような正の整数のうち、最小のものを求めよ。 |
まずは、$3$乗すると下$2$桁の数字が$72$になるような正の整数の条件を求めましょう。「下××桁」とあるときは$10$の冪を法とする剰余類で絞り込むのが常道です。
解答例
$3$乗すると下$4$桁の数字が$7272$になるような正の整数を$n$とする。
一般の整数$k$に対して$k^3$の下一桁の数字を調べる（$\bmod 10$ を考える）と以下の表のようになる。$$\small \begin{array}{c|cccccccccc}
k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\
\hline k^{3} & 0 & 1 & 8 & 7 & 4 & 5 & 6 & 3 & \color{red}{2} & 9
\end{array}$$これより、$k^3$の下一桁が$2$となるような整数$k$の下一桁は$8$と分かる。そこで正の整数 $l$ $n \equiv 10l+8 \pmod{10}$ と置く。
このとき$$\small \begin{aligned}
n^{3} & \equiv (10 l+8)^{3} \pmod{100} \\
& \equiv 1000 l^{3}+3 \cdot 100 l^{2} \cdot 8+3 \cdot 10 l \cdot 64+512 \\
& \equiv 1920 l+12 \\
& \equiv 20 l+12 \\
& \equiv 10(2 l+1)+2
\end{aligned}$$となるから、このとき$n^3$の下二桁の数字は以下の表のようになる。$$\small \begin{array}{l|cccccccccc}
\ell & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 0 \\
\hline x^{3} & 32 & 52 & \color{red}{72} & 92 & 12 & 32 & 52 & \color{red}{72} & 92 & 12
\end{array}$$これより、$l$ が$3$または$8$のとき $n^3 \equiv 72 \pmod{100}$ となるから、$n$の下二桁の数字は$38$または$88$に限られる。以下、この2通りについて場合分けして考える。
ⅰ）$n$の下二桁の数字が$38$のとき
適当な非負整数$N$、$m$（$0 \leqq m \leqq 9$）を用いて$$n=1000N+100m+38$$と表せるから、$$\small \begin{aligned}
n^{3} &= (1000N)^3+{}_3\mathrm{C}_{1}(1000N)^2\cdot(100m+38) \\ & \quad \quad +{}_3\mathrm{C}_{2}(1000N)\cdot(100m+38)^2+(100m+38)^3 \\ & \equiv {}_3\mathrm{C}_{2}(1000N)\cdot 38^2 + (100m+38)^{3} \pmod{10000} \\
&=10000 (100 m^3 + 114 m^2+43m+433N+5) \\ & \quad \quad + 3200 m + 2000 N + 4872 \\
& \equiv 100(32m+20N+48)+72 \pmod{10000}
\end{aligned}$$となる。したがって $32m+20N+48$ の下二桁が$72$となるような最小の場合を考えればよい。
まず、$32m+20N+48$ の下一桁が$2$となるには$m$の下一桁が$2$または$7$でなければならない。$n=1000N+100m+38$ より、なるべく$N$が小さい場合を考えればよい。そこで $N=0$ として、小さい順に$m$を代入して $32m+48$ の下二桁を調べると、$m=7$ のとき初めて $72$ となる。このとき$$n=738$$である。
ⅱ）$n$の下二桁の数字が$88$のとき
適当な非負整数$N$、$m$（$0 \leqq m \leqq 9$）を用いて$$n=1000N+100m+88$$と表せるから、$$\small \begin{aligned}
n^{3} &= (1000N)^3+{}_3\mathrm{C}_{1}(1000N)^2\cdot(100m+88) \\ & \quad \quad +{}_3\mathrm{C}_{2}(1000N)\cdot(100m+88)^2+(100m+88)^3 \\ & \equiv {}_3\mathrm{C}_{2}(1000N)\cdot 88^2 + (100m+88)^{3} \pmod{10000} \\
&=10000 (100 m^3 + 264 m^2+232m+2323N+68) \\ & \quad \quad + 3200 m + 2000 N + 1472 \\
& \equiv 100(32m+20N+14)+72 \pmod{10000}
\end{aligned}$$となる。したがって $32m+20N+14$ の下二桁が$72$となるような最小の場合を考えればよい。
まず、$32m+20N+14$ の下一桁が$2$となるには$m$の下一桁が$4$または$9$でなければならない。$n=1000N+100m+88$ より、なるべく$N$が小さい場合を考えればよい。そこで $N=0$ のとき、小さい順に$m$を代入して $32m+14$ の下二桁を調べると、$n<738$ となる範囲にそのような$m$は存在しないことが分かる。
以上、ⅰ）およびⅱ）より、求める正の整数は$$\color{red}{738}$$である。
（コメント）
本問のレベルとしては、ちょっとした大学入試くらいの整数問題でしょうか。こういった剰余の問題は類題を幾らでも作ることができますね。
解答例では$n$の下二桁の数字が$38$のときと$88$のときで場合を分けていますが、後者の場合は$n^3$の下$4$桁の数字が$7272$になることはありません。このことに気付かずに延々と計算を続けてしまうとドツボに嵌ってしまうかもしれません。本問ではとにかく最小の$n$が見つけられれば良いので、ⅰ）とⅱ）の2パターンを同時並行に考えていくのが良いでしょう。
因みに、$k$を非負整数として $n=5000k+738$、$5000k+3238$ のとき、$n^3$の下$4$桁は$7272$となります。$n$の具体的なリストについては「3乗すると下偶数桁に7272…が現れる自然数」の記事を参考にして下さい。