創作整数問題#88解法＆創作整数問題#89

解答例

題意の立方数の和を$S$と表すことにすると、$$\small \begin{aligned} S &= \sum_{k=1}^{8} n^{3}+3\sum_{k=1}^{8}(k-1) n^{2}+3\sum_{k=1}^{8}(k-1)^2 n+\sum_{k=1}^{8}(k-1)^3 \\ &= 8n^{3}+84n^{2}+420n+784 \\ &=8(n^{3}+10n^{2}+52n+98)+4\underline{n(n+1)} \end{aligned}$$と変形できる。ここで下線部は隣接する2整数の積であるから偶数である。よって、$S$は$n$の値によらず常に$8$で割り切れるから、$S$を$4$で割った$$S^{\prime}=2n^{3}+21n^{2}+105n+196$$が$5^3$で割り切れるような正の整数$n$のうちで最小のものが求めるものである。

そこでまず、$\bmod 5$ を考える。$$S^{\prime} \equiv 2 n^{3} + n^{2} + 1 \pmod{5}$$より、この各項を$5$で割った剰余について表にすると以下のようになる。$$\begin{array}{c|ccccc}
n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline 2 n^{3} & 0 & 2 & 1 & 4 & 3 \\
n^{2} & 0 & 1 & 4 & 4 & 1 \\
S^{\prime} & 1 & 4 & 1 & 4 & \color{red}{0}
\end{array}$$これより、$S^{\prime}$が$5$で割り切れるためには、$n$が適当な非負整数$N_1$を用いて $n=5N_1+4$ と表せることが必要である。

$S^{\prime}$に $n=5N_1+4$ を代入して整理すると、$$\begin{aligned} S&=250 {N_1}^{3} + 1125 {N_1}^{2} + 1845 {N_1} + 1080 \\ &=5(2{N_1} + 3) (25{N_1}^{2} + 75{N_1} + 72) \end{aligned}$$となる。$25{N_1}^{2} + 75{N_1} + 72$ は$5$の倍数になり得ないから、$S^{\prime}$が$5^3$で割り切れるためには $2{N_1} + 3$ が$5^2$で割り切れることが必要である。ここで $2{N_1} + 3$ が奇数であることに注意すると、$$2{N_1} + 3=25(2N_2+1)$$を満たすような非負整数$N_2$が存在する。このとき $N_1=25N_2+11$ となるから、$S^{\prime}$が$5^3$で割り切れるような正の整数$n$は一般に$$n=125N_2+59$$と表せる。よって $N_2=0$ として最小の正の整数$$n=\color{red}{59}$$を得る。