創作整数問題#88解法＆創作整数問題#89

“創作整数問題#88解法＆創作整数問題#89” への3件の返信

1. お久しぶりです．
   #88についてコメントします．

   まず，つまらないことですが，
   問題文中，解説中，解答例中のすべてに登場している「立法数」は，
   正しくは「立方数」ですね．

   解答ですが，次の方法も有力だと思います．

   題意の和をSとすると，
   S=Σ[k=1..n+7]k^3-Σ[k=1..n-1]k^3
   =(((n+7)(n+8))^2-(n(n-1))^2)/4
   =((n+7)(n+8)+n(n-1))((n+7)(n+8)-n(n-1))/4
   =(2n^2+14n+56)(16n+56)/4
   =4(n^2+7n+28)(2n+7).

   n^2と7nは偶奇が一致するから，n^2+7n+28は偶数であり，Sはつねに8の倍数．
   また，
   n^2+7n+28=n^2+12n+28-5n=(n+6)^2-(5n+8)であり，
   平方数(n+6)^2は，5で割った余りは0,1,4のいずれかだから，
   n^2+7n+28は5で割り切れない．

   したがって，Sが1000で割り切れる条件は，
   「Sが5^3で割り切れること」，
   「2n+7が5^3で割り切れること」
   となって，これを満たす最小の自然数nは，
   2n+7=125となる，n=59.

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2. ちょっと補足，というか訂正です．
   私の解答例中で，「S=」の式は，n=1に対しては不適切でした．
   式の直前に「n≧2のとき」，直後に「結果はn=1でも成立．」
   を付けておくのが本来ですね．
   どうも失礼しました．

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   1. たけちゃん さん

      お久しぶりですね！
      コメント頂き、ありがとうございます。

      ご指摘の通り、$$n^2+7n+28=(n+1{)}^2+5(n+5)+2$$などと変形してやれば平方剰余の議論が格段にシンプルになりますね。お見事です。

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