創作整数問題#9解法＆創作整数問題#10

適当に始めた創作整数問題も遂に10作目です。素数に関する問題をピックアップしたいと思います。今まで求値問題ばかりだったので今回は証明問題にしてみました。

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《問題#10》

（Eng）
Show that there doesn’t exist a positive integer $n$ such that $\dfrac{n^2-1}{4}$ is a positive perfect square.

（Jan）
$\dfrac{n^2-1}{4}$ が正の完全平方数となるような正の整数 $n$ は存在しないことを示せ。

（創作問題）

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英語で付けてあるのは単に趣味です。英語は数学と同じくらい大切ですよ。Improve your command of English！･･･大きなお世話でしょうか。

 

証明問題なので答えはここに書きません。悪しからず(笑)。

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創作整数問題#9（解き方）

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問題は以下のようなものでした。誘導が無いので手こずった人もいるかもしれませんね。

正の整数 $m$、$n$ は互いに素であるとする。$$\dfrac{m^2+n^2}{m+2n}$$が整数となるような組$(m,n)$をすべて求めよ。

次数下げをしますと、$$\begin{align}& \ \ \ \ \ \dfrac{m^2+n^2}{m+2n} \\&=m-2n+\dfrac{5n^2}{m+2n} \end{align}$$となります。$n$を定数とした$m$の2次式と見なして割り算しました。

さて、ここからが問題ですね。$\dfrac{m^2+n^2}{m+2n}$ が整数となるためには $\dfrac{5n^2}{m+2n}$ が整数となることが必要です。そこで分子と分母の倍数関係に着目するのですが、ここで「互いに素」という条件が効いてきます。$m$ と $n$ は互いに素ですから $n^2$ と $m+2n$ は互いに素です。したがって $m+2n$ は$5$の約数になるしかありません。$m$、$n$ はともに正の整数なので $m+2n \geqq 3$ ですから$3$以上の$5$の約数と言ったら$5$しかありませんね。よって$$m+2n=5$$となります。これを満たす正の整数の組$(m,n)$は$$\color{red}{(1,3)、(3,2)}$$です。この2組は確かに適しています。

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（コメント）

「互いに素」と限定しなければ幾らでも解が存在していまいます。シンプルながら互素性の偉大さを味わえる問題に仕上がったのではないでしょうか･･･。