北海道大学2019年前期理系数学第２問

解答例

 

（１）

 

$a_n = n(n + 1)$ は隣接する２つの整数の積であるから偶数である。$a_{n+3}$も偶数であるから、$a_{n}$と$a_{n+3}$はともに$2$を素因数にもつ。故に最大公約数$d_{n}$は偶数である。

□

 

 

（２）

 

背理法で示す。

 

$d_n$が$8$で割り切れるとき、$a_{n}$と$a_{n+3}$はともに$8$の倍数となる。$a_{n}$と$a_{n+3}$はともに$8$の倍数であると仮定すると、整数$A$、$B$を用いて$$\begin{cases} a_{n}=8A \\ a_{n+3}=8B \end{cases}$$即ち、$$\begin{cases} n(n+1)=8A &\cdots ① \\ (n+3)(n+4)=8B &\cdots ② \end{cases}$$と置ける。$②-①$ より、$$6(n+2)=8(B-A)$$となるから、$n+2$ は$4$の倍数でなければならない。そこで$k$を整数として$$n=4k-2$$と置くと、$$\begin{align} a_{n}&=n(n+1) \\ &=(4k-2)(4k-1) \\ &=2(2k-1)(4k-1) \end{align}$$となる。$k$は整数であるから $2k-1$ および $4k-1$ は奇数であるが、これは$a_{n}$が$8$の倍数となることに矛盾する。

 

したがって、$d_n$は$8$で割り切れない。

□

 

 

（３）

 

背理法で示す。

 

$d_n$が$p$（ただし$p$は$5$以上の素数）で割り切れるとき、$a_{n}$と$a_{n+3}$はともに$p$の倍数となる。（２）と同様に考えると、$6(n+2)$が$p$の倍数でなければならないから、$n+2$ は$p$の倍数でなければならない。そこで$k$を整数として$$n=pk-2$$と置くと、$$\begin{align} a_{n}&=n(n+1) \\ &=(pk-2)(pk-1) \\ &=(k^2 p-3 k) p + 2 \end{align}$$となる。$p$は$5$以上の素数であるから$2$を割り切らないが、これは$a_{n}$が$p$の倍数となることに矛盾する。

 

したがって、$d_n$は$5$以上の素数$p$で割り切れない。

□

 

 

（４）

 

（１）と（２）より、$d_n$は$8$で割り切れない偶数であり、（３）より、$d_n$は$2$と$3$のみを素因数にもつ。これより、$s$を$2$以下の正の整数、$t$を$0$以上の整数として$$d_n=2^s \cdot 3^t$$と表せる。

 

ここで $t \geqq 2$ とすると、$6(n+2)$が$9$の倍数でなければならないから、$n+2$ は$3$の倍数でなければならない。そこで$k$を整数として$$n=3k-2$$と置くと、$$\begin{align} a_{n}&=n(n+1) \\ &=(3k-2)(3k-1) \end{align}$$となるが、$3k-2$ および $3k-1$ は$3$の倍数ではないから$a_{n}$が$9$の倍数となることに矛盾する。

 

したがって、$t \leqq 1$ であるから、$$d_n \leqq 12$$が示される。

□

 

$d_n=12$ とすると、整数$A$、$B$を用いて$$\begin{cases} n(n+1)=12A &\cdots ③ \\ (n+3)(n+4)=12B &\cdots ④ \end{cases}$$と置ける。$④-③$ より、$$6(n+2)=12(B-A)$$となるから、$n+2$ は偶数でなければならない。そこで$n$に順次、偶数を代入していくと、$n=8$ のとき$$\begin{cases} a_{n}=6 \cdot 12 \\ a_{n+3}=11 \cdot 12 \end{cases}$$となり適する。

 

よって求める$n$の一つは$$\color{red}{n=8}$$である。