今年の北大理系数学では格子点を題材とする整数問題が出題されました。また、複素平面が2年連続で出題されませんでした。
《問題》
座標平面上の2点 、 を通る直線 を考える。
（１） 上にある格子点の座標をすべて求めよ。ただし、格子点とはその点の座標と座標がともに整数であるような点のことである。
（２） 上の格子点のうち、原点との距離が最小となる点をAとする。また、 上のA以外の格子点のうち、原点との距離が最小となる点をBとする。さらに、Aの座標とBの座標をそれぞれ座標と座標とする点をCとする。三角形ABCの内部および周上にある格子点の個数を求めよ。
（北海道大学2020年 前期理系第２問）
《考え方》
2点 、 を通る直線の方程式はで与えられます。与えられている2点は軸の切片になっているので直線はすぐ求められると思います。 上にある格子点の座標を表現するためにはパラメータを持ち出す必要があります。（２）も落ち着いて考えれば易しい問題です。
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解答例
（１）
2点 、 を通る直線 の方程式はで与えられる。 は方程式の解の一つであるから、であり、 よりを得る。これより整数を用いると一般解はと表せるので、求める格子点はとなる。ただしは整数である。
（２）
のとき で原点との距離は、
のとき で原点との距離は、
のとき で原点との距離は、
のとき で原点との距離はとなる。
これより、点A、点B、点Cとなる。
さらにここで点Dをとると、四角形ACBDの内部および周上にある格子点の個数はと求められる。このうち対角線AB上に存在するのは、の2点のみであるから、三角形ABCの内部および周上にある格子点の個数はと計算できる。
（コメント）
完答しなければならないレベルの大問です。（１）は一次不定方程式の典型的な問題です。（２）もかなり易しい問題です。解答例では少しスマートに個数を求めましたが、数え上げも十分に可能な設定の問題でした。
△ABC内部の格子点と△ABD内部の格子点の個数が等しいことに着目すると煩雑な数え上げ作業が不要になります（下図参照）。このとき、対角線AB上の格子点を重複して数えてしまわないように気を付けましょう。
