千葉大学2018年数学第３問

今年の千葉大の整数問題はいわゆる「西暦問題」でした。

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《問題》

$n^{2018}+2$ が$6$の倍数となるような、$n\geqq 2017$ を満たす自然数$n$のうち、$3$番目に小さいものを求めよ。

（千葉大学2018年　第３問）

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《考え方》

$n^{2018}+2$ が$6$の倍数となることと、$n^{2018}$を$6$で割った余りが$4$であることは必要十分の関係にあります。そこで、$6$を法としたときの剰余類で場合を分けて$n^{2018}$の余りを求めることにします。

$n$を $n=6N+r$（ただし、$N$は正の整数、$r$は$0$以上$5$の整数である）と表すと、$n^{2018}$を$6$で割ったときの余りは、$r^{2018}$を$6$で割ったときの余りに一致します。このことは二項展開から容易に示すことができます。

以下では、すべての合同式を$mod6$ とします。

ア）$n\equiv 1$ のとき、$n^{2018}\equiv 1^{2018}=1$ となるので、このとき $n^{2018}+2$ は$6$の倍数になりません。

イ）$n\equiv 2$ のとき、$$2^{10}\equiv 4=2^2$$ であることを利用すると、$$\begin{array}{rl}{n}^{2018}& \equiv 2^{2018}\\ & =(2^{10}{)}^{201}\cdot 2^8\\ & \equiv 2^{410}\\ & =(2^{10}{)}^{41}\\ & \equiv 2^{82}\\ & =(2^{10}{)}^8\cdot 2^2\\ & \equiv 2^{18}\\ & =2^{10}\cdot 2^8\\ & \equiv 2^{10}\\ & \equiv 2^2\\ & =4\end{array}$$となるので、このとき $n^{2018}+2$ は$6$の倍数となります。

ウ）$n\equiv 3$ のとき、$3^2\equiv 3$ より、$$n^{2018}\equiv 3^{2018}=3$$となるので、このとき $n^{2018}+2$ は$6$の倍数になりません。

エ）$n\equiv 4$ のとき、イ）より $2^{2018}\equiv 4$ なので、$$\begin{array}{rl}{n}^{2018}& =4^{2018}\\ & =(2^{2018}{)}^2\\ & \equiv 4^2\\ & \equiv 4\end{array}$$となるので、このとき $n^{2018}+2$ は$6$の倍数となります。

オ）$n\equiv 5$ のとき、$5\equiv -1$ より、$$n^{2018}\equiv (-1{)}^{2018}=1$$となるので、このとき $n^{2018}+2$ は$6$の倍数になりません。

カ）$n\equiv 0$ のとき、$$n^{2018}\equiv 0$$となるので、このとき $n^{2018}+2$ は$6$の倍数になりません。

以上、ア）～オ）より、題意を満たす$n$は $6N\pm 2$ 型の整数であることが分かります。よってこのような$n$で、$2017$以上のもののうち、$3$番目に小さいものは$$2024$$と求められます。

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（コメント）

見かけがやや取っつきにくい問題ですが、要求される作業は単純です。

また、$6$を法とせず、$2$、$3$を別々に法として考えると計算量をかなり削減できます。

《略別解》

$6\mid n^{2018}+2$ $⟺$ $2\mid n^{2018}+2$ かつ $3\mid n^{2018}+2$

より、$n\equiv 0(\mathrm{mod}2)$ かつ $n\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ が必要。故に題意を満たす$n$は $6N\pm 2$ 型の整数に限る。これより$$2024$$と求められる。

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別解のように$2$、$3$を別々に法とすれば、ものの数分で答案を書き上げられますね。なお、${2024}^{2018}+2$ は$6672$桁の整数です。