電磁気的な現象や化学反応の速度論を解析する場合、(連立)微分方程式を解く必要が生じる。この際に有用な数学的な処理にラプラス変換がある。本稿では一般の多項式に対するラプラス変換について述べる。
ラプラス変換について
$t$の関数を以下のように$t$と無関係な複素数$s$の関数$F(s)$に変換する。この操作を「ラプラス変換」と呼ぶ。$$F(s)=\mathcal{L}[f(t)]=\int_0^{\infty} f(t)e^{-st} \, dt$$
この関係は$$F(s)=\mathcal{L}[f(t)]$$や$$f(t) \stackrel{\mathcal{L}}{\longrightarrow} F(s)$$などと表現される。
$f(t)$を原関数、$F(s)$を像関数、$e^{-st}$をラプラス変換の核と呼ぶ。物理系の場合は$f(t)$が時間に依存する関数であることが多い。
ここで、$F(s)$が定義できないような $f(t)=\dfrac{1}{t}$ などの関数には適用できないことに注意しなければならない。
また、ラプラス変換では $t<0$ の情報が保存されていないが、これは、初期時刻以降の情報さえ考慮できていればよい、という精神の下で無視されている。実用上は全く問題無いのである。そもそもラプラス変換は線形微分方程式を簡単に解けるようにするテクニックとして考案されたもので、理論的な説明は後から付いてきたという経緯がある。
ここでは詳細は説明しないが、まず微分方程式をラプラス変換によって変換（$t$領域→$s$領域）してから解き、その計算結果を逆変換で元の領域に戻す（$s$領域→$t$領域）というアプローチが取られる。ラプラス変換を用いると$n$階微分方程式が$n$次方程式に変換されるため、微分方程式が極めて容易に解けるようになる。こうした事情から、ラプラス変換は理学や工学の領域で様々に応用されている。
低次の多項式のラプラス変換
定数関数 $f(t)=a$ にラプラス変換を施すと、$$\begin{align} F(s)&=\int_0^{\infty} a e^{-st} \, dt \\ &= \left[\frac{ae^{-st}}{-s}\right]_0^{\infty} \\ &=0-\left(\frac{a}{s}\right) \\ &=\frac{a}{s} \end{align}$$となる。
次に、関数 $f(t)=t$ にラプラス変換を施してみよう。$$\begin{align} F(s)
&= \int_0^{\infty} t e^{-st} \, dt \\
&= \int_0^{\infty} t \left(\frac{e^{-st}}{-s}\right)’ \, dt \\
&= \left[ t\cdot \frac{e^{-st}}{-s}\right]_0^{\infty} +\frac{1}{s}\color{red}{\int_0^\infty 1\cdot e^{-st}\, dt} \\
&= 0+\frac{1}{s}\cdot\color{red}{\frac{1}{s}} \\
&= \frac{1}{s^2} \end{align}$$計算の途中で先程の結果を用いている（$a=1$ とした場合）。
さらに、$f(t)=t^2$ の場合は$$\begin{align}
F(s) &=\int_0^{\infty} t^2 e^{-st} \, dt
\\ &= \int_0^{\infty} t^2 \left(\frac{e^{-st}}{-s}\right)’ \, dt
\\ &= \left[ t^2 \cdot \frac{e^{-st}}{-s}\right]_0^{\infty} +\frac{1}{s}\int_0^\infty (t^2)’\,e^{-st}\, dt
\\ &= \left[ t^2 \cdot \frac{e^{-st}}{-s}\right]_0^{\infty} +\frac{2}{s}\color{red}{\int_0^\infty t\cdot e^{-st}\, dt}
\\ &= 0+\frac{2}{s}\cdot\color{red}{\frac{1}{s^2}}
\\ &=\frac{2}{s^3} \end{align}$$となる。
以上の結果を見ると、関数 $f(t)=t^n$ にラプラス変換を施すと$$\int_0^\infty t^{n} e^{-st} \, dt=\frac{n!}{s^{n+1}}$$が得られるのではないかと思い至るだろう。実際にこれが正しいことを示してみる。
一般の多項式のラプラス変換
$$\int_0^\infty t^{n} e^{-st} \, dt=\frac{n!}{s^{n+1}}$$となることは帰納法によって証明できる。
$$\int_0^\infty t^{n-1} e^{-st} \, dt=\frac{(n-1)!}{s^{n}}$$を仮定すると、$k=n$ のとき$$\begin{align} F(s)&=\int_0^{\infty} t^n e^{-st} \, dt
\\ &= \int_0^{\infty} t^n \left(\frac{e^{-st}}{-s}\right)^{\prime} \, dt
\\ &= \left[ t^n \cdot \frac{e^{-st}}{-s}\right]_0^{\infty}+\frac{1}{s}\int_0^\infty (t^n)^{\prime}e^{-st}\, dt
\\ &= \left[ t^{n-1} \cdot \frac{e^{-st}}{-s}\right]_0^{\infty} +\frac{n}{s}\color{red}{\int_0^\infty t^{n-1}\cdot e^{-st}\, dt}
\\ &= 0+\frac{n}{s}\cdot\color{red}{\frac{(n-1)!}{s^n}}
\\ &=\frac{n!}{s^{n+1}} \end{align}$$となる。$k=1$ のときは既に示しているので、一般の正の整数$n$について$$\mathcal{L}\left[t^{n}\right]=\dfrac{n!}{s^{n+1}} \quad \cdots (*)$$が成り立つ（$0!=1$ を認めれば非負の$n$で成り立つことが言える）。
また、ガンマ関数を用いれば、負でない実数$p$に対して$$\mathcal{L}\left[t^{p}\right]=\dfrac{\Gamma(p+1)}{s^{p+1}}$$と表現できる。これは$(*)$から直ちに従う訳ではないが、覚えておくと便利である。これを使うと、例えば $f(t)=\sqrt{t}\ (=t^{\frac{1}{2}})$ に対して$$\mathcal{L}\left[\sqrt{t}\,\right]=\dfrac{\Gamma\left(\dfrac{1}{2}+1\right)}{s^{\frac{1}{2}+1}}=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2s\sqrt{s}}$$となることが分かる。