対称的な定積分の最小値（2021年神戸大学後期理系数学第5問）

愚直に積分計算すれば良いだけの問題なので落とせません。ちょっとした置換積分のテクニックが要求されますが、後期試験としては標準レベルです。シンプルながらも良い問題だと思います。

与式の積分の和を$I$と置くと、ダミー変数（この場合は $t$）の変換により$${\displaystyle I={\int }_{-x}^1\frac{dt}{t^2+t+1}+{\int }_x^1\frac{dt}{t^2+t+1}}$$と書き直すことができます。高校数学の範囲では ${\displaystyle \frac{1}{t^2+t+1}}$ の不定積分を求められないので、一度微分して極値を与える$x$を先に求める必要があります。

なお、$I$の積分を無理やり実行すると$${\displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{9}}\pi +{\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}}\{\arctan \left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)-\arctan \left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)\}$$となります。ここで $\arctan x$ は $\tan x$ の逆関数を表しています。

本問は対称なグラフの対称的な積分区間での積分を最小値を求めるもので、やはり $-1\leqq x\leqq 1$ の真ん中で区切るとき（$x=0$ のとき）に積分の和が最小となります。

各関数のグラフを描くと以下のようになります。グラフを見れば視覚的に分かりやすいと思います。

赤色が $y={\displaystyle \frac{1}{x^2-x+1}}$、青色が $y={\displaystyle \frac{1}{x^2+x+1}}$ のグラフです。緑色の破線の曲線は ${\displaystyle y={\int }_{-1}^x\frac{dt}{t^2-t+1}}$ を、紫色の破線の曲線は ${\displaystyle y={\int }_x^1\frac{dt}{t^2+t+1}}$ を、それぞれ$x$の関数として $-1\leqq x\leqq 1$ の範囲でプロットしたグラフです。与式である積分の和は黒色の太線で、確かに $x=0$ で最小になっていることが見て取れます。オレンジ色の曲線は $y=I$ のグラフです。