数列と整数の融合問題です。類題として2014年の東大理科第5問などが挙げられますが、本問の方が単純です。
《問題》
数列を
、、
によって定める。以上の整数に対して、をで割った余りをとする。例えば、 である。 とし、 とおく。以下の問に答えよ。
(1)、、、、を求めよ。
(2)以上整数に対して、 が成り立つことを示せ。
(3) が成り立つことを示せ。
(4) が成り立つことを示せ。
(5)数列の一般項を求めよ。
(岐阜大学2017 前期文系第5問)
《考え方》
(1)は列挙するだけですが、の規則性に気付かせる誘導設問になっています。をから列挙していくと、
、、、、、、、、
となるので、、、、、は
、、、、、、、、
となります。この時点で となることが予想できます。(2)と(3)で証明する事柄は(4)のための準備になっています。
(2)は特に解説の必要が無いと思います。ですから自明です。
(2)を踏まえれば(3)も簡単です。の性質より、ある整数を用いて と表すことができます。これより、となりますから、が成り立つことが示されました。
(4)は帰納法を用いて証明するのが無難です。もちろん、次のように考えることもできます。 が成り立つということはとはで割った余りが等しいということになります。つまり はで割り切れることになりますから、 がで割り切れることを証明すればOKです。しかしこの方針だと適切な式変形がかなり難しくなってしまいます。ここは大人しく(3)を利用しましょう。式が成り立つということはが成り立つということを意味しています。
帰納法の仮定は 、、、 とします。まずについて調べます。
式と仮定より、となり成立しています。他でも同様に、となり成立。となり成立。となり成立。
以上より、すべての自然数について
、、、
が成立しますから、 が成り立つことが示されました。
(5)もで割った余りで場合分けします。
となるので、答えはとなります。
(コメント)
漸化式で与えられる数列の剰余は周期性を持つという事実が背景にある問題は類題多数です。