旭川医科大学2020年前期数学第4問

解答例

 問１

$$2^p=3 \quad \cdots (*)$$を満たす実数 $p$（$>0$）が有理数であると仮定し、互いに素な正の整数$m$、$n$を用いて $p=\dfrac{n}{m}$ と表すと、$(*)$より$$2^n=3^m$$となるが、左辺の素因数は$2$のみであり、右辺の素因数は$3$のみである。よってこれは不合理。故に実数 $p$ は無理数である。

また、$8<9$ より$$2^3<3^2 \quad \therefore 2^{\frac{3}{2}}<3$$が成り立ち、$243<256$ より$$3^5<2^8 \quad \therefore 3<2^{\frac{8}{5}}$$が成り立つ。よって$$2^{\frac{3}{2}}<3<2^{\frac{8}{5}}$$ $$\therefore \dfrac{3}{2}<p<\dfrac{8}{5}$$が成り立つ。

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 問２

$9^{y-1}=3^{2y-2}$ であることに注意すると、$$\left\{\begin{array}{l}
2^{x+y-2}=9^{y-1} \\
2^{2 x-1}=3^{3 x-y+1}
\end{array}\right.$$ $$\therefore \left\{\begin{array}{l}
2^{x+y-2}=3^{2y-2} \\
2^{2 x-1}=3^{3 x-y+1}
\end{array}\right.$$となる。ここで$(*)$を用いると$$\left\{\begin{array}{l}
2^{x+y-2}=2^{p(2y-2)} \\
2^{2 x-1}=2^{p(3 x-y+1)}
\end{array}\right.$$ $$\therefore \left\{\begin{array}{l}
x+y-2=p(2y-2) \\
2 x-1=p(3 x-y+1)
\end{array}\right.$$を得る。これより$x$を消去すると$$\small \left(6 p^{2}-8 p+2\right) y=6 p^{2}-11 p+3$$ $$\small \therefore 2(3 p-1)(p-1) y=(3 p-1)(2 p-3)$$と整理できる。$(*)$より $\small (3 p-1)(p-1)\ne 0$ であるから$$y=\dfrac{2 p-3}{2(p-1)}$$を得る。これより$$x=-\dfrac{1}{2(p-1)}$$となる。よって、$$\small (x, y)=\color{red}{\left(-\dfrac{1}{2(p-1)}, \dfrac{2 p-3}{2(p-1)}\right)}$$が求める組である。

 問３

問２と同様に式を整理すると$$\small \left\{\begin{array}{l}
x+y-2=p(2 y-2 a) \\
2 x-b=p(3 x-y+1)
\end{array}\right. \quad \cdots (**)$$を得る。$2y-2a \ne 0$ のとき$$\dfrac{x+y-2}{2y-2a}=p$$となる。右辺$p$は問１の結果より無理数であるが、$x$、$y$、$a$、$b$は有理数であるから左辺は有理数となり、不合理である。

したがって、このとき解は存在せず、$2y-2a=0$ が必要である。よって$(**)$の第１式より$$x+y-2=0$$となる。$(**)$の第２式についても同様に考えて$$\begin{cases}
3x-y+1=0 \\
2x-b=0
\end{cases}$$を得る。よって以上の４式$$\begin{cases}
y-a=0 \\
x+y-2=0 \\
3x-y+1=0 \\
2x-b=0
\end{cases}$$を連立して解いて$$\small (x, y)=\left(\dfrac{1}{4}, \dfrac{7}{4}\right),\ (a, b)=\left(\dfrac{7}{4}, \dfrac{1}{2}\right)$$を得る。これは確かに$(**)$を満たす。

よって、$$(a, b)=\color{red}{\left(\dfrac{7}{4}, \dfrac{1}{2}\right)}$$が求める $a$、$b$ の組である。