曲線や曲面の形状や曲がり具合などを調べるために、微分を用いて種々の量を解析する数学の学問分野を「微分幾何学」という。今回はそのなかでも大学入試に時折背景を伏せられて登場する「曲率」と「曲率半径」について考えてみる。
曲率の導入
曲線$\mathrm{C}$の弧長に関するパラメータ$t$に対し、曲率$\kappa(t)$を加速度ベクトル$\vec{a}$の大きさとして定義し、$$\kappa(t)=|\vec{a}(t)| =\sqrt{(x^{\prime \prime}(t))^2+(y^{\prime \prime}(t))^2}$$とする。曲線$\mathrm{C}$のパラメータ$t$は、曲線$\mathrm{C}$の速度ベクトル$\vec{v}$の大きさが$1$となるように設定される。また、ここで登場する曲線たちはすべて微分可能であり、速度ベクトルが零ベクトルにならないものと断っておく。
それでは、具体的に曲率を求めてみよう。例えば半径$r$の円の場合、$$\begin{cases} x=r\cos \dfrac{t}{r} \\ y=r\sin \dfrac{t}{r}\end{cases}\tag{1.1}$$とパラメータ表示できるので、$$(x^{\prime \prime}(t))^2=\dfrac{1}{r^2}\cos^2 \dfrac{t}{r},\ (y^{\prime \prime}(t))^2=\dfrac{1}{r^2}\sin^2 \dfrac{t}{r}$$より、曲率$\kappa(t)$は$$\kappa(t)=\sqrt{\dfrac{1}{r^2}\cos^2 \dfrac{t}{r}+\dfrac{1}{r^2}\sin^2 \dfrac{t}{r}}=\dfrac{1}{r}$$と求められる。
ここで、$(1.1)$式のようにパラメータ表示せず、単に$$\begin{cases} x=r\cos t \\ y=r\sin t\end{cases}\tag{1.2}$$とするのが自然ではないか、と訝る方も居られるかと思うが、先程述べたように曲線$\mathrm{C}$のパラメータ$t$は速度ベクトルの大きさが$1$となるように設定する方が都合が良いのである。実際、$(1.1)$の表示によると$$(x^{\prime}(t))^2=\cos^2 \dfrac{t}{r},\ (y^{\prime}(t))^2=\sin^2 \dfrac{t}{r}$$となっているので、この表示による速度ベクトルの大きさは$$|\vec{v}|=\sqrt{\cos^2 \dfrac{t}{r}+\sin^2 \dfrac{t}{r}}=1$$と$1$に等しくなるように正しく規格化されている。もし速度ベクトルの大きさが$1$に規格化されていなければ曲率が一意に定まらない。この不都合を解消するために、速度ベクトルの大きさが$1$に等しくなるようなパラメータ表示を要請している、という訳である。
曲率の応用事例
山道のカーブなどでは曲率を示す標識を見かけることがあるが、これは曲率の逆数（より正確には曲率の絶対値の逆数）が「曲率半径」を表すことから、次に差し掛かるカーブがどの程度の曲がり具合なのかをドライバーに伝える目的で設置されている。
例えば「$R=50 \mathrm{m}$」という標識であれば、カーブの曲がり具合は最大で半径$50 \mathrm{m}$の円と同等であることを警告していることになる。道路の構造基準規定である「道路構造令」には曲率半径と設計速度の目安が示されているので、興味のある方は参照してみるのも良いだろう。
また、カーブが単純な平面である場合、簡単な物理の知識によれば制限速度（というより臨界速度と言うべきかもしれない）も大雑把に見積もることができる。道路の他にも、ジェットコースターなどの乗り物や、望遠レンズなどを設計する際においても、曲率は重要な概念である。
曲率半径の導出
さて、このように何らかのパラメータを用いて曲線を表現し、ベクトル解析の手法によって曲率を求めるというのは言ってみれば「工学的」な方法ではあるが、純粋に数学的な別のアプローチも存在する。
まず、曲率半径というからには曲線を何らかの円で近似しているのであって、この近似的な円の中心を仮定して導出するという方法が考えられる。そこでこの近似円の中心を$(p,q)$と置いてみよう（曲率半径は$R$とする）。
するとこのとき、近似円は$$(x-p)^2+(y-q)^2=R^2\tag{1.3}$$という陰関数で表現できる。曲線$\mathrm{C}$上のある点$\mathrm{A}$は近似円の定義より、この円上にも存在している。点$\mathrm{A}$における座標、1階微分及び2階微分が、近似円と曲線$\mathrm{C}$の陽関数表示 $y=f(x)$ についていずれも等しくなる、という条件から曲率半径$R$を点$\mathrm{A}$の座標変数にパラメータ付けされた関数として導出することができる。
いま、点$\mathrm{A}$の座標を$(a,f(a))$と置いて$(1.3)$式に代入すると、$$(a-p)^2+(f(a)-q)^2=R^2\tag{1.4}$$となる。次に1階微分の条件を利用するために$(1.3)$式の両辺を$x$で微分（$\dfrac{dy}{dx}=y^{\prime}$に注意）して整理すると、$$(x-p)+(y-q)y^{\prime}=0\tag{1.5}$$となるので、$(a,f(a))$を代入して$$(a-p)+(f(a)-q)f^{\prime}(a)=0\tag{1.6}$$という関係式を得る。更に2階微分の条件を利用するため、$(1.5)$式の両辺を$x$で微分（$\dfrac{dy^{\prime}}{dx}=y^{\prime \prime}$に注意）して整理すると、$$1+(y^{\prime})^2+(y-q)y^{\prime \prime}=0\tag{1.7}$$となるので、$(a,f(a))$を代入して$$1+{f^{\prime}(a)}^2+(f(a)-q)f^{\prime \prime}(a)=0\tag{1.8}$$という関係式を得る。
$(1.8)$式により$$q=f(a)+\dfrac{1+{f^{\prime}(a)}^2}{f^{\prime \prime}(a)}\tag{1.9}$$と求められ、これと$(1.6)$式より$$p=a-\dfrac{\bigl(1+{f^{\prime}(a)}^2\bigr)f^{\prime}(a)}{f^{\prime \prime}(a)}\tag{1.10}$$を得る。したがって$(1.4)$式に$p$、$q$を代入し、$R$について解くと$$R=\frac{{\bigl(1+{f^{\prime}(a)}^2\bigr)}^{\frac{3}{2}}}{|f^{\prime \prime}(a)|}\tag{1.11}$$と求めることができる。
改めて俯瞰してみると、これらの操作は$y$の連立(2階微分)方程式を解く作業とも言える。高校数学ではあまり見かけない導出かもしれないが、これは物理の力学分野でニュートンの運動方程式を解く操作に似ている。また、この導出方法の他にも2本の法線の交点の極限を取る方法などが知られている。
ここで$(1.11)$式は任意の点について成立するので、$x$の関数として見なしてよく、$$R=\frac{{\bigl(1+{f^{\prime}(x)}^2\bigr)}^{\frac{3}{2}}}{|f^{\prime \prime}(x)|}\tag{1.12}$$と書き直した方が自然に見えるかもしれない。
これにより、パラメータ表示が困難・面倒な関数に対しても曲率及び曲率半径を求めることが可能となった。
曲率$\kappa$は曲率半径$R$の逆数の関係にあるので、$$\kappa=\dfrac{1}{R}=\frac{|f^{\prime \prime}(x)|}{{\bigl(1+{f^{\prime}(x)}^2\bigr)}^{\frac{3}{2}}}\tag{1.13}$$と表すことができる。或いは「どちらの向きに曲がっているのか」について調べる観点から、絶対値を外して単純に$$\kappa=\frac{f^{\prime \prime}(x)}{{\bigl(1+{f^{\prime}(x)}^2\bigr)}^{\frac{3}{2}}}\tag{1.14}$$とする流儀も多く見受けられる。
因みに、今回導出はしていないが、極座標表示された曲線 $r=f(\theta)$ 上の点$(r,\ \theta)$に対する曲率半径$R$は$$R=\dfrac {\left\{ r^{2}+\left( r^{\prime}\right) ^{2}\right\} ^{\frac {3}{2}}}{\left| r^{2}+2\left( r^{\prime}\right) ^{2}-rr^{\prime \prime}\right| }$$で与えられることが知られている。これは極座標表示を媒介変数表示に直すことで簡単に導出できる。
曲率の計算例
それでは、少し曲率で遊んでみよう。
$(1.14)$式によれば、関数 $y=x^2$ の曲率（これを$\kappa_1$とする）は$$\kappa_1=\dfrac{2}{{\bigl(1+4x^2\bigr)}^{\frac{3}{2}}}$$と求められる。したがって放物線は頂点（この場合は $x=0$）において最も曲がり具合が急になることが数学的に確かめられる。$y=x^2$ のグラフからも放物線の曲がり具合は頂点で最も大きくなることが見て取れるが、曲率によってこの事実を定量的に裏付けることができる。
同様に、関数 $y=\log{x}$ の曲率（これを$\kappa_2$とする）は$(1.14)$式により$$\kappa_2=\dfrac{x}{{\bigl(1+x^2\bigr)}^{\frac{3}{2}}}$$と求められる。$x \to +0$ の極限を取れば曲率は$0$に漸近するため、限りなく直線に近付くことが分かる。$x \to +\infty$ の極限を取っても、曲率は$0$に漸近して直線に近付いていく。これは関数 $y=\log{x}$ のグラフの形からも理解しやすいであろう。また、$\dfrac{x}{{\bigl(1+x^2\bigr)}^{\frac{3}{2}}}$ は $x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ において最大値を取るので、$x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ の点で$\log{x}$は最も急な曲がり具合となることが分かる。
さて、曲線の曲率及び曲率半径は以上のように得られるのだが、これは大学入試においてしばしば取り上げられる題材となっている。曲率を与える関数は概して最大最小を解析的に求めるという操作に通ずるので、出題者からしてみればドル箱とも言える。但し、適切な関数を選ばずに出題すれば、受験生は訳も分からず複雑怪奇な関数の煩雑な微分計算に取り組む羽目になってしまい、問題自体の価値は勿論、こうした背景の教育的価値を落とすことになりかねない。
入試数学の中の曲率
2018年の滋賀医科大学第1問に $r=3+\cos \theta$ の曲率半径に関する出題があり、曲率半径の極大を与える点や最小値を求めさせる問題であった。
この他に $y=\log x$ に関する問題が1987年の横浜国立大(工)第5問として出題されている。その逆関数である $y=e^x$ に関しては1995年の防衛医科大第4問、2005年の筑波大理系前期第3問、2009年の九州大理系前期第5問などに出題がある。また、放物線については、1999年の大阪市立大の理系前期第1問、2004年の名古屋市立大(医)の第1問で曲率半径に関する出題があり、特に1993年の東大後期第3問は回転放物面を題材としたユニークな出題である。なお、東京大学では1996年後期の理科総合科目Ⅱに「高速道路のカーブの設計」に関する問題が出題されている（但し、解答には力学の知識が必要）。1998年の慶応義塾大(医)第2問には楕円の曲率半径に関する出題もある。
このように、曲率の絡んだ問題は難関大学の入試にしばしば登場する。問題演習の際に、少しでもこうした予備知識が頭の中に入っていれば、現象を理解する助けになるだけでなく、勉強自体がより「科学的」で面白いものに感じられるのではないだろうか。
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