東京大学2019年理系数学第４問

（１）解答例$$(5n^2+9)-5(n^2+1)=4$$ より、最大公約数$d_n$は $n^2+1$ と$4$の最大公約数に等しい。

ここで$n$を奇数とすると適当な整数$k$を用いて $n=2k+1$ と表せるから、
$$\begin{align}&\ \ \ \ \ n^2+1 \\ &= (2k+1)^2+1 \\ &=4(k^2+1)+2 \end{align}$$となる。これと$4$の最大公約数は$2$である。

また、$n$を偶数とすると適当な整数$k$を用いて $n=2k$ と表せるから、
$$\begin{align}&\ \ \ \ \ n^2+1 \\ &= (2k)^2+1 \\ &=4k^2+1 \end{align}$$となる。これと$4$の最大公約数は$1$である。

以上より、

$n$が奇数のとき $d_n=2$
$n$が偶数のとき $d_n=1$

と求められる。

（２）解答例$$N=(n^2+1)(5n^2+9)$$とおく。

（１）より、$n$が偶数のとき $n^2+1$ と $5n^2+9$ は互いに素であるから、$N$が整数の$2$乗になることと、$n^2+1$ と $5n^2+9$ がともに整数の$2$乗になることは同値であるが、$$n^2<n^2+1<(n+1)^2$$より、$n^2+1$ は整数の$2$乗でない。

よって$n$が偶数のとき、$N$は整数の$2$乗にならない。

また、$n$が奇数のとき、適当な整数$k$を用いて $n=2k+1$ と表せるから、
$$\begin{align}&\ \ \ \ \ n^2+1 \\ &= (2k+1)^2+1 \\ &=2(2k^2+2k+1) \end{align}$$および、$$\begin{align}&\ \ \ \ \ 5n^2+9 \\ &= 5(2k+1)^2+9 \\ &=2(10k^2+10k+7) \end{align}$$となる。（１）より、$n$が奇数のとき $d_n=2$ であるから、$2k^2+2k+1$ と $10k^2+10k+7$ は互いに素である。これより$N$が整数の$2$乗になることと、$2k^2+2k+1$ と $10k^2+10k+7$ がともに整数の$2$乗になることは同値である。（※）

ここで、$$\begin{align} & \ \ \ \ \ 10k^2+10k+7 \\ &=4 \left\{ \dfrac{5}{2}k(k+1)+1 \right\}+3 \end{align}$$より、$\dfrac{5}{2}k(k+1)$が整数であることに注意すると、$10k^2+10k+7$ を$4$で割った余りは任意の$n$に対して$3$となるが、$4$で割った余りが$3$であるような平方数は存在しないから、$10k^2+10k+7$ は整数の$2$乗にならない。

よって$n$が奇数のとき、$N$は整数の$2$乗にならない。

以上より、$(n^2+1)(5n^2+9)$ は整数の$2$乗にならないことが示された。

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