東北大学2020年前期数学(文系第２問,理系第３問)

解答例

 

（１）

 

$n=3$ のとき、$(\text{左辺})=2^{3}+3^{2}+8=8+9+8=25$、$(\text{右辺})=3^{3}=27$ であるから、$25<27$ より与不等式は成立する。

 

$n=k \quad (k \geqq 3)$ のとき$$2^{k}+k^{2}+8<3^{k} \quad \cdots ①$$ が成立していると仮定する。

 

$n=k+1$ のとき、$$\begin{align} &\ \ \ \,\,\, 3^{k+1}-\left\{2^{k+1}+(k+1)^{2}+8\right\} \\ &=3 \cdot 3^{k}-2^{k+1}-(k+1)^{2}-8 \\ &>3\left(2^{k}+k^{2}+8\right)-2^{k+1}-(k+1)^{2}-8 \quad (\because ①) \\ &=2^{k}+2 k^{2}-2 k+15 \\ &=2^{k}+2 k(k-1)+15 \\ &>0 \quad (\because k \geqq 3) \end{align}$$よって $2^{k+1}+(k+1)^{2}+8<3^{k+1}$ が成り立つ。

 

以上より数学的帰納法により、$3$以上のすべての整数$n$に対して不等式$$2^n+n^2+8<3^n$$が成り立つことが示された。

□

 

（２）

 

（１）の結果から、$2^n+n^2+8 \geqq 3^n$ を満たす正の整数$n$は $n=1,\,2$ に限られる。

 

$n=1$ のとき、$2^{n}+n^{2}+8=11, \quad 3^{n}=3$ であるから適する。

 

$n=2$ のとき、$2^{n}+n^{2}+8=16, \quad 3^{n}=9$ であるから適する。

 

よって求める正の整数$n$は $n=\color{red}{1,\,2}$ である。

 

 

（３）

 

$n$ は正の整数、$a$、$b$ は$0$以上の整数だから $an+b \geqq 0$ である。

 

よって，等式$$2^{n}+n^{2}+8=3^{n}+a n+b$$を満たす $n$ は不等式 $2^n+n^2+8 \geqq 3^n$ を満たすものに限るので、$n=1,\,2$ に限られる。

 

（ⅰ）$n=1$ のとき$$11=3+a+b \quad \therefore \quad a+b=8$$ $a$、$b$ は$0$以上の整数だから、これを満たす組は $(a, b)=(0,8)$、$(1,7)$、$(2,6)$、$(3,5)$、$(4,4)$、$(5,3)$、$(6,2)$、$(7,1)$、$(8,0)$ となる。

 

（ⅱ）$n=2$ のとき$$16=9+2a+b \quad \therefore \quad 2a+b=7$$ $a$、$b$ は$0$以上の整数だから、これを満たす組は $(a, b)=(0,7)$、$(1,5)$、$(2,3)$、$(3,1)$ となる。

以上より、求める組$(a,b,n)$は$$\begin{align}
(a, b, n) =\,& \color{red}{(0,8,1),(1,7,1),(2,6,1),(3,5,1),(4,4,1),} \\
&\color{red}{(5,3,1),(6,2,1),(7,1,1),(8,0,1),} \\
&\color{red}{(0,7,2),(1,5,2),(2,3,2),(3,1,2)}
\end{align}$$の計13組である。