３次方程式との融合問題です。
《問題》
$a$を正の整数とし、$b$を整数とする。$x$についての方程式$$a^2 x^3+abx^2-b^2 x-5=0$$は異なる３つの実数解をもち、１つの解が整数で、残りの２つの解の積が整数である。$a、b$の組をすべて求めよ。
（横浜国立大学2017 前期（経済）第２問）
《考え方》
３次方程式が出てきたときの選択肢は幾つか考えられますが、解に条件が与えられている場合の第一手はやはり「解と係数の関係」でしょう。これより
$$\begin{cases} \alpha +\beta +\gamma =-\dfrac{b}{a} \\ \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha =-\dfrac{b^2}{a^2} \\ \alpha \beta \gamma = \dfrac{5}{a^2} \end{cases}$$
となりますが、仮定より $\alpha \beta \gamma \in \mathbb{Z}$ なので$a^2$は$5$の約数でなければなりません。したがってそのような自然数$a$は$a=1$に限られます。よって与式は$$x^3+bx^2-b^2 x-5=0$$となり、$$x(x^2+bx-b^2)=5$$と変形できるので整数解を$\alpha$とすると$$\alpha ({\alpha}^2+b\alpha-b^2)=5$$となります。これより組$(\alpha , {\alpha}^2+b\alpha-b^2)$は
$(\alpha , {\alpha}^2+b\alpha-b^2)=(\pm 1 , \pm 5)$（複号任意）
となります。これら４つの組のうち$b$が整数となるものは$(5,1)$と$(-1, -5)$の２組に限られ、それぞれ$25+5b-b^2=1$、$1-1b-b^2=-5$を解いて$$(\alpha , b)=(5,8) ,(5,-3),(-1,2),(-1,-3)$$を得ます。
$(\alpha , b)=(5,8)$のとき、残りの２解は$x=\dfrac{-13 \pm \sqrt{165}}{2}$となるので適します。これらの積は$1$です。
$(\alpha , b)=(5,-3)$のとき、残りの解は$x=-1$と重解になるので不適です。
$(\alpha , b)=(-1,2)$のとき、残りの２解は$x=\dfrac{-1 \pm \sqrt{21}}{2}$となるので適します。これらの積は$-5$です。
$(\alpha , b)=(-1,-3)$のとき、残りの２解は$x=5,-1$となり$x=-1$が重解となるので不適です。
以上より求める組$(a,b)$は
$(a,b)=(1,8)、(1,2)$
となります。
（コメント）
基本的な整数問題です。演習に丁度良いレベルだと思います。