神戸大学2019年理系後期数学第１問

解答例

（１）

$$\begin{array}{rl}& \tan {\displaystyle \frac{7\pi }{12}}\\ & =\tan ({\displaystyle \frac{\pi }{3}}+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})\\ & ={\displaystyle \frac{\tan {\displaystyle \frac{\pi }{3}}+\tan {\displaystyle \frac{\pi }{4}}}{1-\tan {\displaystyle \frac{\pi }{3}}\cdot \tan {\displaystyle \frac{\pi }{4}}}}\\ & ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{1-\sqrt{3}\cdot 1}}\\ & =-2-\sqrt{3}\end{array}$$

（２）

$m$は $1(=\tan {\displaystyle \frac{\pi }{4}})$ 以上の整数だから$$\tan {\displaystyle \frac{\pi }{4}}\leqq m=\tan \alpha$$が成り立つ。また、$n$は $2(>\tan {\displaystyle \frac{\pi }{3}})$ 以上の整数だから$$\tan {\displaystyle \frac{\pi }{3}}<n=\tan \beta$$が成り立つ。

関数 $\tan x$ は $0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ の範囲で単調増加であるから、これより$${\displaystyle \frac{\pi }{4}}\leqq \alpha ,{\displaystyle \frac{\pi }{3}}<\beta$$が言える。よって、$$\alpha +\beta >{\displaystyle \frac{\pi }{4}}+{\displaystyle \frac{\pi }{3}}={\displaystyle \frac{7\pi }{12}}$$である。

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（３）

$mn\geqq 2$ であるから$$\tan (\alpha +\beta )={\displaystyle \frac{m+n}{1-mn}}<0$$であり、${\displaystyle \frac{7\pi }{12}}<\alpha +\beta$ を満たすので、$$-2-\sqrt{3}<{\displaystyle \frac{m+n}{1-mn}}<0$$となる。これより、取り得る整数値は$${\displaystyle \frac{m+n}{1-mn}}=-3,-2,-1$$に絞られるので、それぞれ整理して$$(3m-1)(3n-1)=10,$$ $$(2m-1)(2n-1)=5,$$ $$(m-1)(n-1)=2$$を得る。このうち、$m\geqq 1$、$n\geqq 2$、$m<n$ を満たすような整数の組は、$$(m,n)=(1,2),(1,3),(2,3)$$となる。