複素数と整数の融合問題（2021年大阪市立大学後期数学第2問）

解答例

（１）

等式$$z^{2}=11+8 \sqrt{5}i \quad \cdots (*)$$が成り立つとき、両辺の絶対値は等しくなるから$$|z|^2=|11+8 \sqrt{5} i|$$ $$\therefore a^2+5b^2=21$$が成り立つ。これを満たすような正の整数の組$(a,b)$は$$(1,2),\,(4,1)$$のみである。

$(a,b)=(1,2)$ のとき$$(1+2\sqrt{5} i)^2=-19+4\sqrt{5} i$$となるから解として不適。

$(a,b)=(4,1)$ のとき$$(4+\sqrt{5} i)^2=11+8\sqrt{5} i$$となる。

以上より、$$\color{red}{(a,b)=(4,1)}$$が求める整数組である。

（２）

等式$$-wu=11+8 \sqrt{5} i \quad \cdots (*)$$が成り立つとき、両辺の絶対値は等しくなるから$$|w| |u|=|11+8 \sqrt{5} i|$$が成り立ち、この両辺を2乗して$$\therefore (c^2+5d^2)(e^2+5f^2)=441$$を得る。ここで、等式$(*)$について$w$と$u$は対称なので、$|w|\leqq|u|$ の場合を調べれば十分である。$441=3^2 \times 7^2$ であるから、このとき$$\begin{array}{cc|c}
& c^{2}+5 d^{2} & e^{2}+5 f^{2} \\
\hline (\mathrm{i}) & 3 & 3 \times 7^{2} \\
(\mathrm{ii}) & 7 & 3^{2} \times 7 \\
(\mathrm{iii}) & 3^{2} & 7^{2} \\
(\mathrm{iv}) & 3 \times 7 & 3 \times 7
\end{array}$$の4通りの組み合わせが有り得るが、$c^{2}+5 d^{2}=3$ および $c^{2}+5 d^{2}=7$ を満たすような正の整数の組$(c,d)$は存在しない。

$(\mathrm{iii})$のとき、$c^{2}+5 d^{2}=3^2$ を満たすような正の整数の組$(c,d)$は$(2,1)$のみであり、$e^{2}+5f^{2}=7^2$ を満たすような正の整数の組$(e,f)$は$(2,3)$のみである。このとき、$$\small -(2-\sqrt{5}i)(2-3\sqrt{5}i)=11+8\sqrt{5}i$$となるから、$$(c,d,e,f)=(2,1,2,3)$$は求める整数組の一つである。

$(\mathrm{iv})$のとき、$c^{2}+5 d^{2}=3\times 7$ を満たすような正の整数の組$(c,d)$は$(1,2)$のみであり、$e^{2}+5f^{2}=3\times 7$ を満たすような正の整数の組$(e,f)$は$(1,2)$のみである。しかし、$$\small -(1-2\sqrt{5}i)(1-2\sqrt{5}i)=19+4\sqrt{5}i$$となるから、これは不適。

以上より、大小を考慮して$$\color{red}{(c,d,e,f)=(2,1,2,3),(2,3,2,1)}$$が求める整数組となる。

別解

（１）

$$\begin{aligned}
z^{2} &=(a+b \sqrt{5} i)^{2} \\
&=(a^{2}-5 b^{2})+2 a b \sqrt{5} i
\end{aligned}$$より、$$\left\{\begin{aligned}
a^{2}-5 b^{2}&=11 & \cdots ① \\
2 a b&=8 & \cdots ②
\end{aligned}\right.$$ $b \ne 0$ であるから②より、$$a=\dfrac{4}{b}$$を得る。これを①に代入して$$\dfrac{16}{b^{2}}-5 b^{2}=11$$ $$\therefore 5 b^{4}+11 b^{2}-16=0$$ $$\begin{aligned}
b^{2} &=\dfrac{-11 \pm \sqrt{11^{2}-4 \cdot 5 \cdot(-16)}}{2 \cdot 5} \\
&=\dfrac{-11 \pm 21}{10} \\
&=-\dfrac{16}{5}, \ 1
\end{aligned}$$を得るが、$b$は正の整数であるから $b=1$ に限られる。このとき $a=4$ となるから、$$\color{red}{(a,b)=(4,1)}$$が求める整数組である。

（２）

$$\begin{aligned}
-wu &=-(c-d \sqrt{5} i)(e-f \sqrt{5} i) \\
&=-c e+5 d f+(c f+d e) \sqrt{5} i
\end{aligned}$$より、$$\left\{\begin{aligned}
-c e+5 d f &=11 & \cdots ③ \\
c f+d e &=8 & \cdots ④
\end{aligned}\right.$$が必要となる。$f \ne 0$ であるから④より$$c=\dfrac{8-de}{f}$$を得るので、これを③に代入して$$-\dfrac{8-de}{f}e+5 d f =11$$ $$\therefore (8-de)e=(5 d f-11)f \quad \cdots ⑤$$と整理できる。ここで $c>0$ より $8-de>0$ であるから⑤の右辺も正となる。特に $5 d f-11>0$ となるが$5 d f$は$5$の倍数であるから $5 d f \geqq 15$ が必要となる。これより$$\begin{aligned} (8-de)e &=(5 d f-11)f \\ & \geqq (15-11)f \\ &\geqq 4 \quad \quad \quad \quad \quad \cdots ⑥\end{aligned}$$という条件を得る。⑥を満たすような組$(d,e)$は以下の13組に限られる。

$(1,\,1)$、$(1,\,2)$、$(1,\,3)$、$(1,\,4)$、$(1,\,5)$、$(1,\,6)$、$(1,\,7)$、$(2,\,1)$、$(2,\,2)$、$(2,\,3)$、$(3,\,1)$、$(3,\,2)$、$(4,\,1)$

これらについて⑤を$f$について解き、$c$および$f$がともに正の整数となるようなものを探すことにより、$$\color{red}{(c,d,e,f)=(2,1,2,3),(2,3,2,1)}$$を得る。