複雑な定積分の極限値（2017年日本医科大学前期数学第3問）

解答例①

$$f(t)={\displaystyle \frac{(x^2+\sqrt{\pi }t)e^{t^2}}{(x^3-\sqrt{\pi }{x}^2+\pi x-\pi \sqrt{\pi })t^2\log t}}$$と置く。$\sqrt{\pi }<x$ のとき、$\sqrt{\pi }\leqq t\leqq x$ における$f(t)$の最大値を$M$、最小値を$m$と置くと、$m\leqq f(t)\leqq M$ より、$$m(x-\sqrt{\pi })\leqq {\int }_{\sqrt{\pi }}^{x}f(t)dt\leqq M(x-\sqrt{\pi })$$が成り立つ。これより、${\displaystyle {\int }_{\sqrt{\pi }}^{x}f(t)dt=f(c)(x-\sqrt{\pi })}$、$\sqrt{\pi }\leqq c\leqq x$ を満たすような実数$c$が存在する。$\sqrt{\pi }>x$ のときは不等号の向きが変わるだけで、同様に実数$c$が存在することが言える。

ここで$$\begin{array}{rl}& f(c)(x-\sqrt{\pi })\\ =& {\displaystyle \frac{(x^2+\sqrt{\pi }c)e^{c^2}}{(x^3-\sqrt{\pi }{x}^2+\pi x-\pi \sqrt{\pi })c^2\log c}}(x-\sqrt{\pi })\\ =& {\displaystyle \frac{(x^2+\sqrt{\pi }c)e^{c^2}}{(x^2+\pi )c^2\log c}}\end{array}$$であり、$x\to \sqrt{\pi }$ のとき $c\to \sqrt{\pi }$ となるから、極限値は$$\begin{array}{rl}& \underset{x\to \sqrt{\pi }}{lim}{\int }_{\sqrt{\pi }}^x{\displaystyle \frac{(x^2+\sqrt{\pi }t)e^{t^2}}{(x^3-\sqrt{\pi }{x}^2+\pi x-\pi \sqrt{\pi })t^2\log t}}dt\\ =& {\displaystyle \frac{(\pi +\sqrt{\pi }\cdot \sqrt{\pi })e^{\pi }}{(\pi +\pi )\pi \log \sqrt{\pi }}}\\ =& {\displaystyle \frac{2e^{\pi }}{\pi \log \pi }}\end{array}$$と求められる。

解答例②

まず$$\begin{array}{rl}& {\int }_{\sqrt{\pi }}^x{\displaystyle \frac{(x^2+\sqrt{\pi }t)e^{t^2}}{(x^3-\sqrt{\pi }{x}^2+\pi x-\pi \sqrt{\pi })t^2\log t}}dt\\ =& {\int }_{\sqrt{\pi }}^x{\displaystyle \frac{(x^2+\sqrt{\pi }t)e^{t^2}}{(x-\sqrt{\pi })(x^2+\pi )t^2\log t}}dt\\ =& {\displaystyle \frac{1}{x^2+\pi }}(x^2\cdot {\displaystyle \frac{{\displaystyle {\int }_{\sqrt{\pi }}^x{\displaystyle \frac{e^{t^2}}{t^2\log t}}dt}}{x-\sqrt{\pi }}}+\sqrt{\pi }\cdot {\displaystyle \frac{{\displaystyle {\int }_{\sqrt{x}}^x{\displaystyle \frac{e^{t^2}}{t\log t}}dt}}{x-\sqrt{\pi }}})\end{array}$$のように変形する。

ここで ${\displaystyle {\int }_{\sqrt{\pi }}^x{\displaystyle \frac{e^{t^2}}{t^2\log t}}dt=F(x)}$、${\displaystyle {\int }_{\sqrt{x}}^x{\displaystyle \frac{e^{t^2}}{t\log t}}dt=G(x)}$ と置くと、$F(\sqrt{\pi })=0$、$G(\sqrt{\pi })=0$ であるから$$\begin{array}{rl}& \underset{x\to \sqrt{\pi }}{lim}\frac{F(x)}{x-\sqrt{\pi }}\\ =& \underset{x\to \sqrt{\pi }}{lim}\frac{F(x)-F(\sqrt{\pi })}{x-\sqrt{\pi }}\\ =& F^{\prime }(\sqrt{\pi })\\ =& {\displaystyle \frac{e^{x^2}}{x^2\log x}}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}& \underset{x\to \sqrt{\pi }}{lim}\frac{G(x)}{x-\sqrt{\pi }}\\ =& \underset{x\to \sqrt{\pi }}{lim}\frac{G(x)-G(\sqrt{\pi })}{x-\sqrt{\pi }}\\ =& G^{\prime }(\sqrt{\pi })\\ =& {\displaystyle \frac{e^{x^2}}{x\log x}}\end{array}$$と計算できる。

したがって、極限値は$$\begin{array}{rl}& \frac{1}{\pi +\pi }(\pi \cdot \frac{e^{\pi }}{\pi \log \sqrt{\pi }}+\sqrt{\pi }\cdot \frac{e^{\pi }}{\sqrt{\pi }\log \sqrt{\pi }})\\ =& {\displaystyle \frac{2e^{\pi }}{\pi \log \pi }}\end{array}$$となる。