通過領域のシンプルな良問（2003年千葉大学前期理系数学第2問）

逆像法は強力な手法ですが、その理屈を正しく理解できていないと大怪我をしてしまうことがあります。やってることはといえば、以下のような数学的な「意味のすり替え」に過ぎません。

「点$(x,y)$がある図形（今回の場合は直線）の通過領域に属する」ということは、「点$(x,y)$を通るような直線 $y=(2a+1)x-a^2-a$ が存在する」ということであり、これはつまり「方程式 $y=(2a+1)x-a^2-a$ を満たすような実数$a$が存在する」ということを意味します。こうした数学的な意味の取り換えを進めていくことで、最終的に実数条件が登場するのです。

本問のような通過領域の問題を解答するときに、なぜ実数条件を考えなければならないのかを理解しないまま逆像法を使っている人は多い印象です。訳も分からずとにかく変数を実数条件に突っ込めば良いというのは大きな間違いです。いわゆる数学Ⅰ･Ａの「解の配置」の問題をみっちり訓練しておくことは、こういう問題でミスをしないようにするためにも重要です。

なお、本問は順像法でも簡単に解けます。以下、$x$をある定数と見なします。式$\mathrm{①}$について$$\begin{array}{rl}y& =(2a+1)x-a^2-a\\ & =-a^2+(2x+1)a+x\\ & =-{(a-{\displaystyle \frac{2x-1}{2}})}^2+x^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}\cdots \mathrm{②}\end{array}$$と平方完成できます。$a$は全実数の範囲を動くので、$\mathrm{②}$の最小値は存在せず、$a={\displaystyle \frac{2x-1}{2}}$ のとき最大値 $x^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}$ をとります。これより、ある$x$に対して$y$の取り得る範囲は $y\leqq x^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}$ となり、この結果はすべての実数$x$について成立するので、これが求めるべき通過領域に一致します。これが順像法による解き方です。

通過領域問題に苦手意識を持っている人は多いので、攻略するのが早ければ早いほど差が付きます。通過領域の問題の解き方や考え方については「通過領域問題の攻略法」の記事に詳しくまとめてあります。順像法と逆像法の使いどころの解説をシリーズ化してあるので是非参考にして下さい！