2次式f(n)が平方数となるような正の整数nの個数（2025年東京大学前期理系数学第4問）

今年の東大理系数学の整数問題は論証題でした。

---

---

（１）

$ f_a(n) = n^2+n-a $ が平方数であると仮定する。まず $f_a(n)$ が平方数なら、特に $f_a(n) \ge 0$ である。

$n > a$ と仮定する。このとき \[ n^2 + n-a > n^2 + n-n = n^2. \] すなわち $f_a(n)$ は $n^2$ よりも大きくなる。次に、$n^2 + n-a$ と $(n+1)^2$ を比較する。 \[ (n+1)^2 = n^2 + 2n + 1. \] ここで $n \ge 2$ ならば \[ n^2 + n \le n^2 + 2n < n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2. \] したがって \[ n^2 + n-a \le n^2 + n \le (n+1)^2-1 < (n+1)^2. \] よって \[ n^2 < f_a(n) = n^2 + n-a < (n+1)^2. \] すると、$f_a(n)$ は $n^2$ と $(n+1)^2$ の間にある整数となるが、そこには新たな平方数は存在しない（連続する平方数の差は $2n+1$ であることから、$n^2+1,\,n^2+2,\dots,(n+1)^2-1$ のいずれも平方数ではない）。

これは「$f_a(n)$ が平方数」と矛盾する。以上の矛盾は「$n > a$」を仮定したところから生じたので、これは誤りである。従って $n \le a$ が成り立つ。

以上により、「$f_a(n)$ が平方数となるならば必ず $n \le a$ である」ことが示された。

（２）

「$N_a=1 \Longrightarrow 4a+1$ は素数」の証明：

$N_a=1$ とは、「$f_a(n)$ が平方数となる正の整数 $n$ がちょうど1つしか存在しない」という意味である。そこで $f_a(n)=k^2$ をみたすペア $(n,k)$ は一意的となる。

$f_a(n)=k^2 \Longrightarrow n^2 + n-a = k^2$.
これを両辺4倍して $(4a+1)$ を加えると、
\[
\begin{aligned}
4(n^2 + n-a) + (4a+1)
&= 4n^2 + 4n -4a + (4a+1) \\
&= 4n^2 + 4n +1 \\
&= (2n+1)^2.
\end{aligned}
\]よって
\[
(2n+1)^2-4k^2
= 4a+1.
\]

左辺は
\[
(2n+1)^2-(2k)^2
= \bigl((2n+1)-2k\bigr)\,\bigl((2n+1)+2k\bigr).
\]ここで $(2n+1)\pm 2k$ はともに正の整数であり（実際 $n^2+n-a=k^2\ge0$ なら $n$ はそれなりに大きくなるため $2n+1>2k$ が成り立つとみなせる）、したがって $4a+1$ の正因数分解を一つ与えている。

「$f_a(n)=k^2$ となる $(n,k)$ が一意しかない」という仮定より、上のような正因数分解
\[
4a+1
=\bigl((2n+1)-2k\bigr)\,\bigl((2n+1)+2k\bigr)
\]も（$1\times(4a+1)$ のような自明な因数分解を除けば）ちょうど一通りしか現れない。したがって $4a+1$ は素数である。（$4a+1$ が素数でないときに生じる「$4a+1=rs$ という形の因数分解」が排除されている）

---

「$4a+1$ は素数 $\Longrightarrow N_a=1$」の証明：

$4a+1$ が素数であると仮定すると、正の因数分解
\[
4a+1 = uv, \quad u,v \in \mathbb{Z}^+
\]は $u=1,v=4a+1$（あるいは $u=4a+1,v=1$）しか存在しない。いま、
\[
(2n+1)^2-(2k)^2 = 4a+1
\]すなわち\[
\bigl((2n+1)-2k\bigr)\,\bigl((2n+1)+2k\bigr) = 4a+1
\]となるなら、上記の素数分解から
\[
(2n+1)-2k = 1, \quad (2n+1)+2k = 4a+1
\]に限られる。よって$$2n+1 = 1 + 2k$$であり、$$1 + 2k + 2k = 4a+1$$ $$\therefore 4k = 4a$$ $$\therefore k=a$$より\[
2n+1 = 1 + 2a
\Longrightarrow
n = a.
\]が導かれる。

したがって $(n,k)=(a,a)$ のとき $f_a(a) = a^2+a-a = a^2$ が平方数になる。さらに(1)の結果から「$n \le a$」という制約があり、$n=a$ 以外では $f_a(n)$ が平方数にならない。よって $f_a(n)$ が平方数になる正整数 $n$ は $n=a$ ただ1つであり、したがって $N_a=1$ である。

---

以上により、「$N_a=1$ である」ことと「$4a+1$ が素数である」ことは同値であることが示された。

---

---