2018年センター数ⅠA第4問


各予備校のセンター試験の平均点予想を眺めてみると、理系も文系もおよそ昨年並みのようですが、文系の方が少し難化したようです。得点調整も無さそうなので、良質な試験だったと言えますね。

今回は今年のセンター数ⅠAの第4問で出題された整数問題を解説します!


(1)144を素因数分解すると144=2 ア × イ  ウ であり、144の正の約数の個数は エオ 個である。

(2)不定方程式144x7y=1の整数解xyの中で、xの絶対値が最小になるのはx= カ y= キク であり、すべての整数解は、kを整数としてx= ケ k+ カ y= コサシ k+ キク と表せる。

(3)144の倍数で、7で割ったら余りが1となる自然数のうち、正の約数の個数が18個である最小のものは 144× ス  であり、正の約数の個数が30個である最小のものは 144× セソ  である。


オーソドックスなタイプの整数問題ですが(3)は慣れていないとやや難しいかもしれません。因みに不定方程式は2016年に出題歴があります。

(1)

144=24×32ですから、正の約数の個数は(4+1)(2+1)=15と求められます。

(2)

1407の倍数なので 288287 の組、即ち、x=2y=41の組は割と簡単に見つけられると思います。144x7y=1 の両辺から 288287=1 を辺々差を取って、144(x2)7(y41)=0 144(x2)=7(y41)を得ます。これより、x27の倍数でなければならず、y41144の倍数でなければならないので、すべての整数解は整数kを用いて{x=7k+2y=144k+41と表せます。

(3)

約数の個数は素因数の種類が増えると一気に増えてしまうので ス には23が入ると考えられます。もし5などが入ると約数の個数はいきなり 532=30 個になってしまいます。そこで試しに2を入れると144×2=288=2532となるので約数の個数は 63=18 個となり、また、2887で割ったら余りが1となる自然数なので適します。したがって ス =2です。

次に セソ を考えますが、こちらは候補が多そうなので絞り込みを考えます。1447で割ったときの余りが4ですから、 セソ に入る数をxとすると、xは少なくとも合同式4×x1 (mod7)を満たす必要があります。したがってこれよりx7で割ったときの余りが2でなければならないことが分かりますから、 セソ には7で割ったときの余りが2であるような2桁の自然数しか当てはまりません。

またここで、144の正の約数の個数は既に15個存在し、 30=2×3×5 であることに注意すると、x2533232か、もしくは素数でなければならないことが分かります。25=3233=27232=187で割ったときの余りが2でないので、xには7で割ったときの余りが2であるような2桁の素数が当てはまることになります。このような数を小さい方から探していくと x=23 が見つかります。このとき確かに144×23 (=3312)7で割ったら余りが1となる自然数であり、かつ正の約数の個数が30個となっていますので、 セソ =23です。


今回の数ⅠAの全体的な問題量を考えれば、良心的なレベルでしょう。確実に得点したいところですね。

“2018年センター数ⅠA第4問” への2件の返信

    1. コメントありがとうございます。

      ご指摘の通り、287=7×41 ですので、正しくはy=41ですね。訂正させて頂きました。
      ご指摘に感謝致します。

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 が付いている欄は必須項目です

©Copyright 2017-2025 理系のための備忘録 All Rights Reserved.