2022年共通テスト数学ⅡＢの解説と雑感

先日投稿した2022年共通テスト数学ⅠＡのエントリがそれなりに反響があったので、数学ⅡＢも解いてみました。こちらも強敵です。

（※2023年の共通テスト数学はこちら）

 概観

共通テスト2年目ということもあり、非常に文章量の多い内容になっています。問題文の行数は昨年の約1.4倍、ページ数にして5ページも増えており、「長文読解は国語でやれ」と言いたくなるのも頷けるほど全体的にボリューミーでした。数学ⅠＡの過分な処理量といい、今年の受験生は一体何を試されているのでしょうか…。

問題をパラパラ見てみると、今年もグラフの概形を選ぶ問題が出題されていました。ただしこれはあまり難しくなさそうです。昨年同様、確率分布の問題は第3問に配置されています。昨年のベクトルは正二十面体を扱う特殊なシチュエーションの問題でしたが、今年はごく普通の図形が題材となっており無難に落ち着いた印象です。

一番目を引くのは長文の出題で話題になった第4問の数列でしょうか。数学的に正確を期した文章にしようとすればこのくらいの長さになってしまうのも理解できますが、解答欄の枠がない大問1ページ目というのはそう頻繁に見られるものではありません(^_^;)。数学の問題文としては異例の長文で、挙句の果てにエンターテイメントにまで昇華されてしまう始末。

「共通テスト数ⅡB第4問」という曲ができました

作詞: 大学入試センター
作曲: camel-leon pic.twitter.com/hQIcwDCs4b

— camel-leon (@camelleonsound) January 17, 2022

サビまでの構成といいアウトロといい素晴らしいメロディメイクだと思います(笑)

さて、以下に長々と個人的な雑感を書いていきます。乱文ですがご容赦下さい。問題文は掲載していませんので、適宜お手元にご用意下さい。

 数学ⅡＢ第１問〔１〕

〔１〕は図形と方程式からの出題でした。設定は至ってシンプルで、座標の計算も複雑ではなく、特に今回のセットでは落とせない問題です。

$k_0$の求め方は2通り示されていますが、「花子さん」の$\tan$の2倍角を利用する方針の方が計算はラクです。「太郎さん」の重解条件から求める方法でも求められないことはありませんが、管理人はこの方法だと計算に手間が掛かりそうだと判断し、$\tan$の2倍角から求めました。

なお、$\tan$の2倍角の公式は別に覚えておく必要は無く、$\sin$と$\cos$の加法定理からその都度導くことができます。

 数学ⅡＢ第１問〔２〕

実際に解いてみると分かりますが、この第1問〔２〕が意外と曲者かもしれません。対数関数の扱いに慣れていないと、ここで時間を浪費しかねません。

対数の定義に近い内容から誘導設問が始まるので（２）までは問題無いでしょう。（３）では$b$の値で場合分けが発生することに注意します。底が$1$より大きいときと小さいときで対数関数の増減が逆転するので、$0<a<1$ のケースについてはいっそのこと $c=\dfrac{1}{a}$ と置き、$\log_a b$ の代わりに $-\log_c b$ を考えても良いかもしれません。このようにすれば $a>1$ のときの結果が利用できます。

（４）は（３）の結果を使うので（３）でミスをしていると痛い失点になってしまいます。$\log_p q$と$\log_q p$、$\log_p r$と$\log_r p$ の大小比較ですが、$0<p<1<r<q$ から $q>1$ および $r>1$ に注目して（３）の「チ」の結果を使うのが良い気がします。$q>1$ に着目すれば、$p$と$q$が不等式$$\dfrac{1}{q}<p<1 \quad \text{ or } \quad q<p$$を満たすかどうかを調べることで不等号の向きが分かります。$p$と$r$の場合でも同様に処理して、こちらは不等式を満たさないので問題文中の④式の不等号の向きが反転すると分かります。

 数学ⅡＢ第２問

今回の微積分の問題は意外とあっさりした難度でした。

〔１〕まずは$$\begin{aligned}
f^{\prime}(x) &=3 x^{2}-6 a \\
&=3(x+\sqrt{2 a})(x-\sqrt{2 a}) \quad (a>0 \text{ のとき})
\end{aligned}$$と導関数を求めておきます。グラフの概形を選ぶのは難しくありません。$f'(x)=0$ となるのが $x=\pm \sqrt{2 a}$ なので、これらを $y=f(x)$ に代入して極大値と極小値を求め、$$\color{red}{-4 \sqrt{2} a^{\frac{3}{2}}+16<p<4 \sqrt{2} a^{\frac{3}{2}}+16}$$を得ます。（３）は変曲点の有無がグラフにどう効くのか、また実数解の個数（$x$軸と交わる回数）が$a$によってどう変わるのかを、図から判別して解答します。ここでいちいち式の計算をしている時間的余裕はありません。

〔２〕では別の3次関数が登場します。$$\begin{aligned} g(x)-h(x) &=x^{2}-3 b x+2 b^{2} \\ &=(x-b)(x-2 b) \end{aligned}$$となるので $\alpha=b$、$\beta=2 b$ を得ます。

次にグラフの概形が問題になりますが、$C_1$と$C_2$は$x^3$の係数が等しいことから、およそ次のような位置関係になります。

先ほど計算した $g(x)-h(x)$ が負になる範囲が $b<x<2b$ なので、青色が $C_1:y=g(x)$、オレンジ色が $C_2:y=h(x)$ と分かります。

続いて、$S$と$T$の被積分関数の符号が逆であることから、$$\begin{aligned}
S-T &=\int_{b}^{t}\left(-x^{2}+3 b x-2 b^{2}\right) d x \\
&=\left[-\dfrac{1}{3} x^{3}+\dfrac{3}{2} b x^{2}-2 b^{2} x\right]_{b}^{t} \\
&=-\dfrac{1}{3} t^{3}+\dfrac{3}{2} b t^{2}-2 b^{2} t-\left(-\dfrac{1}{3} b^{3}+\dfrac{3}{2} b^{3}-2 b^{3}\right) \\
&=\color{red}{\dfrac{-1}{6}\left(2 t^{3}-9 b t^{2}+12 b^{2} t-5 b^{3}\right)}
\end{aligned}$$と求められます。

その後に $2 t^{3}-9 b t^{2}+12 b^{2} t-5 b^{3}=0$ の解を探すのですが、あっさり $t=b$ が見つかるので$$(t-b)^2 (2t-5b)=0$$と因数分解できます。これより $t=\color{red}{\dfrac{5}{2}b}$ と求められます。微積の問題としては意外とスムーズに解きやすい問題でした。

 数学ⅡＢ第３問

確率分布の問題です。文章は多めですが割と易しい問題です。マークあたりの配点が高いので些細なミスをしないよう注意が必要です。

（１）は問題文を読めば解答可能、（２）も公式を当てはめるだけで計算が進められます。解答欄「キ」の計算の際には $0.5-0.0465 \ (=0.4535)$ を満たすような $x \ (=1.68)$ を求めるために正規分布表を参照します。類題でよく練習していればスムーズに解けるはずです。

（３）で積分が出てきて面倒そうな見掛けをしていますが、要求される計算はとても単純です。

いま、$f(x)$を1次関数と仮定しているので、$P(100 \leqq X \leqq 300)=\color{red}{1}$ に基づいて$$\dfrac{f(100)+f(300)}{2} \cdot (300-100)=1$$を立式し、ここから$$\color{red}{4 \cdot 10^{4} a+2 \cdot 10^{2} b=1}$$を導きます。

$X$の平均（期待値）$m$は$$m=\int_{100}^{300} x f(x) \,dx$$で与えられるので、$$\begin{aligned}
m &=\int_{100}^{300}\left(a x^{2}+b x\right) d x \\
&=\left[\dfrac{a}{3} x^{3}+\dfrac{b}{2} x^{2}\right]_{100}^{300} \\
&=\dfrac{a}{3} \left(300^{3}-100^{3}\right)+\dfrac{b}{2}\left(300^{2}-100^{2}\right) \\
&=\color{red}{\dfrac{26}{3} \cdot 10^{6} a+4 \cdot 10^{4} b}
\end{aligned}$$を得ます。

後は $200<X<300$ の割合を求めるだけなので$$\begin{aligned}
& \dfrac{f(200)+f(300)}{2} \cdot (300-200) \\
=& \dfrac{-3 \cdot 10^{-5}(200+300)+2 \cdot 11 \cdot 10^{-3}}{2} \cdot 100 \\
=&-\dfrac{15}{2} \cdot 10^{-1}+11 \cdot 10^{-1} \\
=& \dfrac{-15+22}{20} \\
=& \dfrac{7}{20} \, \left(=\dfrac{35}{100}\right)
\end{aligned}$$として$35$％が答えとなります。

 数学ⅡＢ第４問

今年の数学ⅡＢの目玉がこちら。いわゆる「旅人算」の高校数学バージョンですね。

※「旅人算」とは、2つ以上の動点の隔たりが時間によってどのように推移するのかを題材とする問題の総称です。登場人物が池の周りをクルクル回ったり、兄弟が自宅から時間差登校したりするアレです。

まず、長い問題文が目に留まります。歩行者は毎分$+1$で歩き続け、自転車は自宅と歩行者の間を毎分$2$の速さで往復し、2人が出会った時は2人とも1分間静止して、自転車が自宅に戻った時は自転車だけ1分間静止するようです。何だか面倒な設定ですね…。

この様子を、時刻を横軸に、自宅からの距離を縦軸としたときのグラフが43ページに示されています。最初に見たとき、題材としては群数列になるのかな？と思いましたが、後で単なる連立漸化式の問題であることが分かります。

グラフに適宜数字を書き込んで、自転車が最初に歩行者に追いつく時の時刻と位置を表す点の座標は$(4,\,4)$となること、および $a_2=8$、$b_2=7$ となることを割り出します。ここまでで、まず本問の設定を把握しましょう。

次はいきなり一般項の話に移ります。親切なことに図が掲載されているので、ここに次のように書き込んでみます（書き込みは赤色部分）。時間$t$というのは$n$回目に自転車が歩行者に追いつくまでの時間です。

ここから、$$\begin{cases}
a_{n+1} =a_{n}+2 t+2 \\
b_{n+1} =b_{n}+2 t+1 \\
2 t =b_{n}+t
\end{cases}$$という関係式が得られるので、$t=b_{n}$ より、$n$回目に自宅を出発した自転車が次に歩行者に追いつく時の時刻は $a_n+t$、すなわち $\color{red}{a_n+b_n}$であり、その時の位置は $2t$、すなわち $\color{red}{2b_n}$です。

上図を見れば連立漸化式を立てるのは容易ですね。関係式$$\begin{cases} a_{n+1} =a_{n}+2 b_{n}+2 \\ b_{n+1} =3 b_{n}+1 \end{cases}$$が直ちに得られます。よって、$$\begin{aligned}
\left(b_{n+1}+\dfrac{1}{2}\right) &=3\left(b_n +\dfrac{1}{2}\right) \\
&=3^{n}\left(b_{1}+\dfrac{1}{2}\right) \\
&=3^{n} \cdot \dfrac{5}{2}
\end{aligned}$$ $$\therefore b_n=\color{red}{3^{n-1} \cdot \dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{2}}$$を得ます。また、$$\begin{aligned}
a_{n+1}-a_{n}=5 \cdot 3^{n-1}+1 \\
\vdots \quad \quad \quad \quad \quad \\
\underline{+) \quad a_{2}-a_{1}=5 \cdot 3^{0}+1 \quad } \\
\, a_{n+1}-a_{1}=5 \sum_{k=0}^{n-1} 3^{k}+n
\end{aligned}$$より、$$a_n=\color{red}{3^{n-1} \cdot \dfrac{5}{2}+n-\dfrac{3}{2}}$$を得ます。

最後の問題はオマケみたいなものですが、「自転車が歩行者に追い付く」時刻であることに注意しましょう（単純に$a_n$や$b_n$を計算すれば良い訳ではないので要注意）。

解答欄「エ」と「オ」の部分で埋めたように、$n$回目に自宅を出発した自転車がが歩行者に追い付く時刻と位置はそれぞれ $a_n+b_n$、$2b_n$なので、これを計算します。つまり、「$2b_n<300$ を満たす最大の$n$はいくらか？」という問題に帰着します。小さい方から $5 \cdot 3^{n-1}-1$ をせっせと計算して$$n=\color{red}{4}$$と分かります（$2b_4=134$、$2b_5=404$ となる）。よって$$a_4+b_4=70+67=\color{red}{137}$$と求められます。

解き終わってみると意外と単純な構造の連立漸化式の問題でした。問題文の膨大さに圧倒されますが、焦らず題意を把握することに努めればそれほど酷いことにはならないような気がします。ただ、あの数学ⅠＡの後という精神状態を考えると、そういう訳にはいかないかもしれませんね…。

 数学ⅡＢ第５問

こちらは基本的なベクトルの問題です。誘導設問がかなり親切です。

（１）は内分点の公式さえ知っていれば問題ありませんね。$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ が垂直になる場合は$$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot\{(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}\}=0$$が成り立つので$$t=\color{red}{\dfrac{3}{5}}$$はすぐに求められると思います。

$\angle \mathrm{OCQ}=90^{\circ}$ は $\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CQ}}=0$ と言い換えられます。後者の方程式から $$k=\color{red}{\dfrac{3}{5 t-3}}$$を得ます。

次に領域の話が出てきますが、点$\mathrm A$、$\mathrm B$、$\mathrm C$と$\mathrm Q$の位置関係さえ正確に図示できていれば難無く解答可能でしょう。

（３）ではまたしても太郎さんと花子さんが登場します。$t=\dfrac{1}{2}$ のとき②式から $k=-6$ と求められるので、$$\begin{aligned}
\overrightarrow{\mathrm{OQ}} &=-6 \overrightarrow{\mathrm{OP}} \\
&=-6\left(\dfrac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{OB}}\right) \\
&=-3\overrightarrow{\mathrm{OA}}-3\overrightarrow{\mathrm{OB}}
\end{aligned}$$から、$|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|^2$を計算して長さを求めます。

※一応、余弦定理と三平方の定理、相似から幾何的に$|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|$求めることもできますが、遠回りで時間の無駄なので$k$を求めて処理するのが普通です。

それ以降は基本的に会話文のヒントに従えば良いでしょう。$\overrightarrow{\mathrm{CR}}=2 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+3 \overrightarrow{\mathrm{OB}}$ と表せるので、ここから$$\begin{aligned}
\overrightarrow{\mathrm{OR}} &=\overrightarrow{\mathrm{OC}}+2 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+3 \overrightarrow{\mathrm{OB}} \\
&=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+3 \overrightarrow{\mathrm{OB}} \quad (\because \overrightarrow{\mathrm{OC}}=-\overrightarrow{\mathrm{OA}})\\
&=4 \cdot\left(\dfrac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\dfrac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{OB}}\right)
\end{aligned}$$と変形すれば $k=4$、$t=\color{red}{\dfrac{3}{4}}$ が一気に求められます。

是非取りたいレベルの標準的な問題でした。