2023年共通テスト数学ⅠAの解説と雑感

$|x+6|\leqq 2$ の解は, $-2\leqq x+6\leqq 2$ より, $$-8\leqq x\leqq -4$$となる。（解答欄ア～エ）

$(1-\sqrt{3})(a-b)(c-d)$を$x$と見なせば前問の結果が利用できる。$1-\sqrt{3}<0$ なので不等号が反転することに注意し、$$2+2\sqrt{3}\leqq (a-b)(c-d)\leqq 4+4\sqrt{3}$$を得る。（解答欄オ～ク）

以下、$$\{\begin{array}{l}(a-b)(c-d)=4+4\sqrt{3}\\ (a-c)(b-d)=-3+\sqrt{3}\end{array}$$が仮定として与えられているので、これら2式の左辺を展開して$$\{\begin{array}{ll}ac-ad-bc+bd=4+4\sqrt{3}& \cdots \mathrm{①}\\ ab-ad-bc+cd=-3+\sqrt{3}& \cdots \mathrm{②}\end{array}$$を得る。$\mathrm{①}-\mathrm{②}$より$$\begin{array}{rl}ac-ab+bd-cd& =(a-d)(c-b)\\ & =(4+4\sqrt{3})-(-3+3\sqrt{3})\\ & =7+3\sqrt{3}\end{array}$$と求められる。（解答欄ケ、コ）

正弦定理を用いると ${\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ACB}}}=2\cdot 5$ となるので、$\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ACB}={\displaystyle \frac{3}{5}}$ である。$\mathrm{\angle }\mathrm{ACB}>{90}^{\circ }$ のとき余弦は負なので、$\cos \mathrm{\angle }\mathrm{ACB}=-{\displaystyle \frac{4}{5}}$ と求められる。（解答欄サ、シ）

※あるいは、$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$として、円周角の定理を用いて直角三角形$\mathrm{AOM}$から$$\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ACB}=\sin \mathrm{\angle }\mathrm{AOM}={\displaystyle \frac{3}{5}}$$として求めても良い。

$\mathrm{△}\mathrm{ABC}$の面積が最大となるのは点$\mathrm{C}$と直線$\mathrm{AB}$距離が最も大きくなるときであるから、$\mathrm{\angle }\mathrm{ABC}$が鋭角で、かつ$\mathrm{△}\mathrm{ABC}$が二等辺三角形となるときである。よって、$\tan \mathrm{\angle }\mathrm{OAD}={\displaystyle \frac{4}{3}}$、$\mathrm{△}\mathrm{ABC}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 6\cdot 9=27$ と求められる。（解答欄ス～ソ）

$\mathrm{△}\mathrm{PQR}$に対して余弦定理を用いると $$\begin{array}{rl}\cos \mathrm{\angle }\mathrm{QPR}& =\frac{9^2+8^2-5^2}{2\cdot 9\cdot 8}\\ & ={\displaystyle \frac{5}{6}}\end{array}$$となり、$$\sin \mathrm{\angle }\mathrm{QPR}=\sqrt{1-{\left(\frac{5}{6}\right)}^2}=\frac{\sqrt{11}}{6}$$となる。したがって$\mathrm{△}\mathrm{PQR}$の面積は$$\begin{array}{rl}\mathrm{△}\mathrm{PQR}& ={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 9\cdot 8\cdot \sin \mathrm{\angle }\mathrm{QPR}\\ & =36\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{11}}{6}}\\ & =6\sqrt{11}\end{array}$$となる。（解答欄タ～ト）

三角錐$\mathrm{TPQR}$の体積が最大となるのは点$\mathrm{T}$と平面$\mathrm{PQR}$（平面$\alpha$）との距離が最も大きくなるときであり、このとき点$\mathrm{H}$は$\mathrm{△}\mathrm{PQR}$の外心となる。よって$$\mathrm{PH}=\mathrm{QH}=\mathrm{RH}$$が成り立つ。ここで$\mathrm{△}\mathrm{PQR}$に対して正弦定理を用いると$${\displaystyle \frac{\mathrm{QR}}{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{QPR}}}=2\mathrm{PH}$$ $$\therefore \mathrm{PH}={\displaystyle \frac{5}{2\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{11}}{6}}}}={\displaystyle \frac{15}{\sqrt{11}}}$$を得る。よって三角錐$\mathrm{TPQR}$の体積$V$は$$\begin{array}{rl}V& ={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 6\sqrt{11}\cdot \{5+\sqrt{5^2-{\left({\displaystyle \frac{15}{\sqrt{11}}}\right)}^2}\}\\ & =2\sqrt{11}(5+5\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{11}}})\\ & =10(\sqrt{11}+\sqrt{2})\end{array}$$と求められる。（解答欄ナ～ハ）

まず下図のように、各データの値（下側赤字）、データ値の累積（上側青字）、四分位範囲（上側緑字）を計算する。

これより、第1四分位数が含まれる階級は「② 1800以上2200未満」、第3四分位数が含まれる階級は「⑤ 3000以上3400未満」と分かる。また、$1800\leqq Q_1<2200$ および $3000\leqq Q_3<3400$ より、$$800<Q_3-Q_1<1600$$となるので、四分位範囲は「① 800より大きく1600より小さい」。（解答欄ア～ウ）

（下図は問題文に示されている箱ひげ図である）

設問（i）は②が正答である。（解答欄エ）

⓪について、地域Eの第1四分位数は2000を上回っているため、小さい方から5番目は2000以上である可能性が排除できないので不適。

①について、地域Eと地域Wのデータの範囲は明らかに等しくないので不適。

③について、地域Eの第3四分位数と地域Wの中央値が同程度であることに注目すると、地域Wの方が2600未満の市の割合が多いとは言えない。

（ii）は分散の定義を問う問題である。偏差$s$に対して分散は$$s^2={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2}$$で与えられる。選択肢は「② 2乗を合計して地域Eの市の数で割った値」となる。（解答欄オ）

相関係数$r$は以下の式で与えられる。$s_{xy}$を$x$と$y$の共分散、$s_x$と$s_y$をそれぞれ$x$、$y$の標準偏差として$$r={\displaystyle \frac{s_{xy}}{s_x{s}_y}}$$各値は既に表で与えられているので、これらを用いる。この設問では大まかな値を選べばよいので、各値を大雑把に丸めて概算すればよい。$$r\fallingdotseq {\displaystyle \frac{124000}{590\times 570}}\fallingdotseq {\displaystyle \frac{1240}{60\times 60}}\fallingdotseq {\displaystyle \frac{1}{3}}$$よって、これに最も近い「⑦ $0.37$」を選べばよい。（解答欄カ）

放物線$C_1$は2点$(0,3)$、$(4,3)$を通るので、まず定数項は「ク：$3$」と分かる。$(4,3)$を方程式に代入すると、$$16a-4\cdot \boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}\cdot a=0$$となるので$$\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}=4$$と分かる。よって$$C_1:y=a{x}^2-4ax+3$$であり、これを平方完成すると$$y=a(x-2{)}^2-4a+3$$となるので、「シュートの高さ」は $-4a+3$ と求められる。（解答欄キ～コ）

問題文中の放物線$C_2$の方程式から、花子さんの「ボールが最も高くなるときの地上の位置」は $x=2-{\displaystyle \frac{1}{8p}}$、「シュートの高さ」は $-{\displaystyle \frac{(16p-1{)}^2}{64p}}+2$ で与えられる。

選択肢⓪は $2-{\displaystyle \frac{1}{8p}}=2$ が成り立つという主張だが、これは明らかに成り立たないので正しくない。

選択肢①は $4-(2-{\displaystyle \frac{1}{8p}})>2$ が成り立つという主張だが、$p<0$ より $2-{\displaystyle \frac{1}{8p}}>2$ なので、これも正しくない。

選択肢②は正答である。（解答欄サ）

選択肢③は $2-{\displaystyle \frac{1}{8p}}$ が常に$2$より大きいことから正しくないと分かる。

$\mathrm{AD}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{15}}$ より、放物線$C_1$は点$({\displaystyle \frac{38}{10}},3+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{15}})$を通る。これを放物線$C_1$の方程式に代入して整理し、$$3+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{15}}={\left({\displaystyle \frac{38}{10}}\right)}^{2}a-4\cdot {\displaystyle \frac{38}{10}}a+3$$ $$\therefore {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}={\displaystyle \frac{{19}^2}{5}}a-4\cdot 19a$$ $$\therefore {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}=-{\displaystyle \frac{19}{5}}a$$ $$\begin{array}{rl}\therefore a& =-{\displaystyle \frac{5}{19}}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}\\ & =-{\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{57}}\end{array}$$を得る。（解答欄シ～ソ）

「プロ選手のシュートの高さ」は $-4a+3$ で与えられるから、$a=-{\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{57}}$ を代入して$${\displaystyle \frac{20\sqrt{3}}{57}}+3$$となる。問題文より「花子さんのシュートの高さ」は約$3.4$と与えられているので、${\displaystyle \frac{20\sqrt{3}}{57}}$と$0.4$の大小を比較すればよい。$\sqrt{3}\approx 1.7$ とすると$${\displaystyle \frac{20\sqrt{3}}{57}}\approx {\displaystyle \frac{34}{57}}\approx 0.6$$となる。実際には $\sqrt{3}>1.7$ なので、「プロ選手のシュートの高さ」は$3.6$より多少大きい程度である。したがって、「プロ選手（解答欄タ：選択肢⓪）」の方が「シュートの高さ」が大きく、その差はボール「約1個分（解答欄チ：選択肢⓪）」と分かる。

（下図は問題文に示されている球の繋ぎ方である）

（１）

図Bについて①→②→③→④と色を塗っていく方法を考えると、①は5通り、②は①以外の色で4通り、③は②以外の色で4通り、④は③以以外の色で4通りとなり、総数は$$5\times 4\times 4\times 4=320$$となる。（解答欄ア～ウ）

（２）

図Cについて①→②→③と色を塗っていく方法を考えると、①は5通り、②は①以外の色で4通り、③は①と②以外の色で3通りとなり、総数は$$5\times 4\times 3=60$$となる。（解答欄エ～オ）

（３）

図Dについて、赤を2回使うのは「あ）①と③に赤を塗る」または「い）②と④に赤を塗る」の場合に限られる。

あ）のとき、②と④の色の塗り方は、赤以外の色を塗ればよいから $4\times 4=16$ 通りである。

い）のとき、①と③の色の塗り方は、あ）の場合と同様に $16$ 通りである。

よって求める場合の数は$$16+16=32$$となる。（解答欄カ～キ）

（４）

図Eにおいて、赤を3回、青を2回使う場合、まず①は赤と青以外の色を塗らなければならないので $3$ 通り。②~⑥の色の塗り方は ${}_5{\mathrm{C}}_3\times {}_2{\mathrm{C}}_2=10$ 通りであるから、色の塗り方は$$3\times 10=30$$となる。（解答欄ク～ケ）

（５）

図Fにおいて、色の塗り方は図Bと共通であり、③と④が同じ色になる場合の数は図Cと共通（選択肢②）で $60$ 通り。これより、図Dにおける色の塗り方は$$5\times 4\times 4\times 4-60=260$$となる。（解答欄コ～ス）

（６）

（５）の議論をそのまま利用すると、場合の数について以下の関係が成り立つ。

よって、$$5\times 4\times 4\times 4\times 4-260=1020$$と求められる。（解答欄セ～チ）

$462=2\cdot 3\cdot 7\cdot 11$、$110=2\cdot 5\cdot 11$ より、$462$と$110$の両方を割り切る素数のうち最大のものは$11$である。（解答欄ア～イ）

以下、$i$と$j$を正の整数として、下図のように赤い長方形を横に$i$枚、縦に$j$枚並べるとする。

正方形を作るとき、辺の長さについて$$462i=110j$$ $$\therefore 21i=5j$$が成り立つことが必要である。$21$と$5$は互いに素であるから、$i$は$5$の倍数、$j$は$21$の倍数であることが必要となる。このような場合で最小の値は $(i,j)=(5,21)$ であるから、このとき正方形の1辺は最小値 $462\cdot 5=2310$ をとる。（解答欄ウ～カ）

次に、赤い長方形を横に$i$枚、縦に$j$枚並べて正方形ではない長方形を作る。ここで、横の長さと縦の長さの差を$d$として方程式$$462i-110j=d$$を考える。左辺は$22$の倍数であるから$d$も$22$の倍数でなければならない。そこで $d=22d^{\prime }$ と置く（$d^{\prime }$は整数）。これより方程式は$$21i-5j=d^{\prime }$$となり、これは $d^{\prime }=1$ のときに整数解 $(i,j)=(1,4)$ をもつ。したがって、$d$が最小となるのは $d=22$ のときである。（解答欄キ～ク）

また、縦の長さが横の長さよりも$22$だけ長いのは $d^{\prime }=-1$ のときであり、このとき$i$が最も小さい整数解は $(i,j)=(4,17)$ となり、このとき長方形の横の長さは $462\cdot 4=1848$ となる。

下図のように、赤い長方形を縦に$m$枚、横に$x$枚、青い長方形を縦に$n$枚、横に$y$枚並べる。

全体が長方形になるとき、縦の長さが一致しなければならないから、$$110m=154n$$ $$\therefore 5m=7n$$が必要となる。$5$と$7$は互いに素であるから、$m$は$7$の倍数、$n$は$5$の倍数でなければならない。これを満たす最小の整数組は $(m,n)=(7,5)$ であり、このとき縦の長さは$770$となる。（解答欄ス～ソ）

次に、全体が長方形になるときを考える。$462=2\cdot 3\cdot 7\cdot 11$、$363=3\cdot {11}^2$ より、$462$と$363$の最大公約数は$33$であり、$33$の倍数のうちで$770$（$=2\cdot 5\cdot 7\cdot 11$）の倍数でもある最小の正の整数は$2310$である。（解答欄タ～ナ）

上記の内容から、作られる正方形の1辺の長さは$2310$の倍数でなければならないことが分かる。そこで、正方形の横の長さについて、$$462x+363y=2310k$$が成り立つ（$k$は正の整数）。この両辺の係数を約分すると$$14x+11y=70k$$となる。これより$y$は$14$の倍数であることが必要で、正の整数$Y$を用いて $y=14Y$ と置ける。よってこの方程式は$$x+11Y=5k$$と書き直すことができる。ここで $x=4$、$Y=1$ のとき $k=3$ となり、このとき辺の長さは最小である。よって求める辺の長さの最小値は$$3\cdot 2310=6930$$である。（解答欄ニ～ノ）

直線$\mathrm{EH}$が円$\mathrm{O}$の接線であることを証明するには、$$\mathrm{\angle }\mathrm{OEH}={90}^{\circ }$$を示せばよい。（解答欄ア～イ）

$\mathrm{\angle }\mathrm{OCH}=\mathrm{\angle }\mathrm{OGH}={90}^{\circ }$ より、4点$\mathrm{C}$、$\mathrm{G}$、$\mathrm{H}$、$\mathrm{O}$は同一円周上に存在する。よって$\mathrm{\angle }\mathrm{CHG}$は対角の外角である$\mathrm{\angle }\mathrm{FOG}$に等しいから$$\mathrm{\angle }\mathrm{CHG}=\mathrm{\angle }\mathrm{FOG}$$が成り立つ。（解答欄ウ～エ）

また、$\mathrm{△}\mathrm{ODG}$が二等辺三角形であることと円周角の定理から$$\mathrm{\angle }\mathrm{FOG}={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\angle }\mathrm{DOG}=\mathrm{\angle }\mathrm{DEG}$$が成り立つ。（解答欄オ）

したがって $\mathrm{\angle }\mathrm{CHG}=\mathrm{\angle }\mathrm{DEG}(=\mathrm{\angle }\mathrm{CEG})$ より、4点$\mathrm{C}$、$\mathrm{G}$、$\mathrm{H}$、$\mathrm{E}$は同一円周上に存在する。（解答欄カ）

問題文の手順２の通りに作図すると以下のようになる。ここで、直線$\mathrm{TS}$の延長に点$\mathrm{U}$をとる。

いま、直線$\mathrm{TU}$は点$\mathrm{S}$における円$\mathrm{O}$の接線であるから、接弦定理より$$\mathrm{\angle }\mathrm{USQ}=\mathrm{\angle }\mathrm{QRS}$$が成り立つ。また、直線$\mathrm{QS}$と直線 $l$ はともに直線$\mathrm{OP}$に対して直交しており互いに平行であるから、同位角の関係より$$\mathrm{\angle }\mathrm{USQ}=\mathrm{\angle }\mathrm{PTS}$$が成り立つ。したがって、$$\mathrm{\angle }\mathrm{PTS}=\mathrm{\angle }\mathrm{QRS}$$が成り立つ。（解答欄キ）

よって、四角形$\mathrm{RPTS}$の外角（$\mathrm{\angle }\mathrm{QRS}$）がそれと隣り合う内角の対角（$\mathrm{\angle }\mathrm{PTS}$）に等しいことから、4点$\mathrm{R}$、$\mathrm{P}$、$\mathrm{T}$、$\mathrm{S}$が同一円周上に存在することが従う。

また、（１）と同様に$\mathrm{\angle }\mathrm{OPT}=\mathrm{\angle }\mathrm{OST}={90}^{\circ }$ より、4点$\mathrm{P}$、$\mathrm{T}$、$\mathrm{S}$、$\mathrm{O}$は同一円周上に存在することから、点$\mathrm{R}$もこの円周上に存在している。これより、円周角の定理から $\mathrm{\angle }\mathrm{ORT}={90}^{\circ }$ と分かるので、直線$\mathrm{RT}$は点$\mathrm{R}$における円$\mathrm{O}$の接線である。

以上より、線分$\mathrm{OT}$は3点$\mathrm{O}$、$\mathrm{P}$、$\mathrm{R}$を通る円の直径であるから、円の半径は ${\displaystyle \frac{3\sqrt{6}}{2}}$ であり、$\mathrm{△}\mathrm{ORT}$について三平方の定理から $\mathrm{RT}=7$ と求められる。（解答欄ク～サ）