2023年共通テスト数学ⅠAの解説と雑感

$|x+6| \leqq 2$ の解は, $-2 \leqq x+6 \leqq 2$ より, $$\color{red}{-8 \leqq x \leqq-4}$$となる。（解答欄ア～エ）

$(1-\sqrt{3})(a-b)(c-d)$を$x$と見なせば前問の結果が利用できる。$1-\sqrt{3}<0$ なので不等号が反転することに注意し、$$\color{red}{2+2 \sqrt{3} \leqq(a-b)(c-d) \leqq 4+4 \sqrt{3}}$$を得る。（解答欄オ～ク）

以下、$$\begin{cases}(a-b)(c-d)=4+4 \sqrt{3} \\ (a-c)(b-d)=-3+\sqrt{3}\end{cases}$$が仮定として与えられているので、これら2式の左辺を展開して$$\begin{cases}a c-a d-b c+b d=4+4 \sqrt{3} & \cdots ① \\ a b-a d-b c+c d=-3+\sqrt{3} & \cdots ②\end{cases}$$を得る。$①-②$より$$\begin{aligned} a c-a b+b d-c d & =(a-d)(c-b) \\ & =(4+4 \sqrt{3})-(-3+3 \sqrt{3}) \\ & =\color{red}{7+3 \sqrt{3}}\end{aligned}$$と求められる。（解答欄ケ、コ）

正弦定理を用いると $\dfrac{\mathrm{AB}}{\sin \angle \mathrm{ACB}}=2 \cdot 5$ となるので、$\sin \angle \mathrm{ACB}=\color{red}{\dfrac{3}{5}}$ である。$\angle \mathrm{ACB}>90^{\circ}$ のとき余弦は負なので、$\cos \angle \mathrm{ACB}=\color{red}{-\dfrac{4}{5}}$ と求められる。（解答欄サ、シ）

※あるいは、$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$として、円周角の定理を用いて直角三角形$\mathrm{AOM}$から$$\sin \angle \mathrm{ACB}=\sin \angle \mathrm{AOM}=\dfrac{3}{5}$$として求めても良い。

$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が最大となるのは点$\mathrm{C}$と直線$\mathrm{AB}$距離が最も大きくなるときであるから、$\angle \mathrm{ABC}$が鋭角で、かつ$\triangle \mathrm{ABC}$が二等辺三角形となるときである。よって、$\tan \angle \mathrm{OAD}=\color{red}{\dfrac{4}{3}}$、$\triangle \mathrm{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot 6 \cdot 9 = \color{red}{27}$ と求められる。（解答欄ス～ソ）

$\triangle \mathrm{PQR}$に対して余弦定理を用いると $$\begin{aligned} \cos \angle \mathrm{QPR} &=\frac{9^2+8^2-5^2}{2 \cdot 9 \cdot 8} \\ &=\dfrac{5}{6}\end{aligned}$$となり、$$\sin \angle \mathrm{QPR}=\sqrt{1-\left(\frac{5}{6}\right)^2}=\frac{\sqrt{11}}{6}$$となる。したがって$\triangle \mathrm{PQR}$の面積は$$\begin{aligned} \triangle \mathrm{PQR} & = \dfrac{1}{2} \cdot 9 \cdot 8 \cdot \sin \angle \mathrm{QPR} \\ &=36 \cdot \dfrac{\sqrt{11}}{6} \\ &=\color{red}{6 \sqrt{11}}\end{aligned}$$となる。（解答欄タ～ト）

三角錐$\mathrm{TPQR}$の体積が最大となるのは点$\mathrm{T}$と平面$\mathrm{PQR}$（平面$\alpha$）との距離が最も大きくなるときであり、このとき点$\mathrm{H}$は$\triangle \mathrm{PQR}$の外心となる。よって$$\color{red}{\mathrm{PH}=\mathrm{QH}=\mathrm{RH}}$$が成り立つ。ここで$\triangle \mathrm{PQR}$に対して正弦定理を用いると$$\dfrac{\mathrm{QR}}{\sin \angle \mathrm{QPR}}=2 \mathrm{PH}$$ $$\therefore \mathrm{PH}=\dfrac{5}{2 \cdot \dfrac{\sqrt{11}}{6}}=\dfrac{15}{\sqrt{11}}$$を得る。よって三角錐$\mathrm{TPQR}$の体積$V$は$$\begin{aligned} V &= \dfrac{1}{3} \cdot 6 \sqrt{11} \cdot\left\{5+\sqrt{5^2-\left(\dfrac{15}{\sqrt{11}}\right)^2}\right\} \\ &=2 \sqrt{11}\left(5+5 \sqrt{\dfrac{2}{11}}\right) \\ &=\color{red}{10\left(\sqrt{11}+\sqrt{2}\right)} \end{aligned}$$と求められる。（解答欄ナ～ハ）

まず下図のように、各データの値（下側赤字）、データ値の累積（上側青字）、四分位範囲（上側緑字）を計算する。

これより、第1四分位数が含まれる階級は「② 1800以上2200未満」、第3四分位数が含まれる階級は「⑤ 3000以上3400未満」と分かる。また、$1800 \leqq Q_1 < 2200$ および $3000 \leqq Q_3 < 3400$ より、$$800<Q_3-Q_1<1600$$となるので、四分位範囲は「① 800より大きく1600より小さい」。（解答欄ア～ウ）

（下図は問題文に示されている箱ひげ図である）

設問（i）は②が正答である。（解答欄エ）

⓪について、地域Eの第1四分位数は2000を上回っているため、小さい方から5番目は2000以上である可能性が排除できないので不適。

①について、地域Eと地域Wのデータの範囲は明らかに等しくないので不適。

③について、地域Eの第3四分位数と地域Wの中央値が同程度であることに注目すると、地域Wの方が2600未満の市の割合が多いとは言えない。

（ii）は分散の定義を問う問題である。偏差$s$に対して分散は$$s^2 = \dfrac{1}{n}\displaystyle \sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2$$で与えられる。選択肢は「② 2乗を合計して地域Eの市の数で割った値」となる。（解答欄オ）

相関係数$r$は以下の式で与えられる。$s_{xy}$を$x$と$y$の共分散、$s_x$と$s_y$をそれぞれ$x$、$y$の標準偏差として$$r=\dfrac{s_{xy}}{s_x s_y}$$各値は既に表で与えられているので、これらを用いる。この設問では大まかな値を選べばよいので、各値を大雑把に丸めて概算すればよい。$$r \fallingdotseq \dfrac{124000}{590 \times 570} \fallingdotseq \dfrac{1240}{60 \times 60} \fallingdotseq \dfrac{1}{3}$$よって、これに最も近い「⑦ $0.37$」を選べばよい。（解答欄カ）

放物線$C_1$は2点$(0,3)$、$(4,3)$を通るので、まず定数項は「ク：$3$」と分かる。$(4,3)$を方程式に代入すると、$$16a-4\cdot\boxed{ キ }\cdot a=0$$となるので$$\boxed{ キ }=4$$と分かる。よって$$C_1:\color{red}{y=ax^2-4ax+3}$$であり、これを平方完成すると$$y=a(x-2)^2-4a+3$$となるので、「シュートの高さ」は $\color{red}{-4a+3}$ と求められる。（解答欄キ～コ）

問題文中の放物線$C_2$の方程式から、花子さんの「ボールが最も高くなるときの地上の位置」は $x=2-\dfrac{1}{8 p}$、「シュートの高さ」は $-\dfrac{(16 p-1)^2}{64 p}+2$ で与えられる。

選択肢⓪は $2-\dfrac{1}{8 p}=2$ が成り立つという主張だが、これは明らかに成り立たないので正しくない。

選択肢①は $4-\left(2-\dfrac{1}{8 p}\right)>2$ が成り立つという主張だが、$p<0$ より $2-\dfrac{1}{8 p}>2$ なので、これも正しくない。

選択肢②は正答である。（解答欄サ）

選択肢③は $2-\dfrac{1}{8 p}$ が常に$2$より大きいことから正しくないと分かる。

$\mathrm{AD}=\dfrac{\sqrt{3}}{15}$ より、放物線$C_1$は点$\left(\dfrac{38}{10}, 3+\dfrac{\sqrt{3}}{15}\right)$を通る。これを放物線$C_1$の方程式に代入して整理し、$$3+\dfrac{\sqrt{3}}{15}=\left(\dfrac{38}{10}\right)^2 a-4\cdot \dfrac{38}{10}a+3$$ $$\therefore \dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{19^2}{5}a-4\cdot 19a$$ $$\therefore \dfrac{\sqrt{3}}{3}=-\dfrac{19}{5}a$$ $$\begin{aligned} \therefore a&=-\dfrac{5}{19} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3} \\ &=\color{red}{-\dfrac{5\sqrt{3}}{57}} \end{aligned}$$を得る。（解答欄シ～ソ）

「プロ選手のシュートの高さ」は $-4a+3$ で与えられるから、$a=-\dfrac{5\sqrt{3}}{57}$ を代入して$$\dfrac{20\sqrt{3}}{57}+3$$となる。問題文より「花子さんのシュートの高さ」は約$3.4$と与えられているので、$\dfrac{20\sqrt{3}}{57}$と$0.4$の大小を比較すればよい。$\sqrt{3} \approx 1.7$ とすると$$\dfrac{20\sqrt{3}}{57} \approx \dfrac{34}{57} \approx 0.6$$となる。実際には $\sqrt{3}>1.7$ なので、「プロ選手のシュートの高さ」は$3.6$より多少大きい程度である。したがって、「プロ選手（解答欄タ：選択肢⓪）」の方が「シュートの高さ」が大きく、その差はボール「約1個分（解答欄チ：選択肢⓪）」と分かる。

（下図は問題文に示されている球の繋ぎ方である）

（１）

図Bについて①→②→③→④と色を塗っていく方法を考えると、①は5通り、②は①以外の色で4通り、③は②以外の色で4通り、④は③以以外の色で4通りとなり、総数は$$5 \times 4 \times 4 \times 4=\color{red}{320}$$となる。（解答欄ア～ウ）

（２）

図Cについて①→②→③と色を塗っていく方法を考えると、①は5通り、②は①以外の色で4通り、③は①と②以外の色で3通りとなり、総数は$$5 \times 4 \times 3=\color{red}{60}$$となる。（解答欄エ～オ）

（３）

図Dについて、赤を2回使うのは「あ）①と③に赤を塗る」または「い）②と④に赤を塗る」の場合に限られる。

あ）のとき、②と④の色の塗り方は、赤以外の色を塗ればよいから $4 \times 4=16$ 通りである。

い）のとき、①と③の色の塗り方は、あ）の場合と同様に $16$ 通りである。

よって求める場合の数は$$16+16=\color{red}{32}$$となる。（解答欄カ～キ）

（４）

図Eにおいて、赤を3回、青を2回使う場合、まず①は赤と青以外の色を塗らなければならないので $3$ 通り。②~⑥の色の塗り方は ${ }_5 \mathrm{C}_3 \times{ }_2 \mathrm{C}_2=10$ 通りであるから、色の塗り方は$$3 \times 10=\color{red}{30}$$となる。（解答欄ク～ケ）

（５）

図Fにおいて、色の塗り方は図Bと共通であり、③と④が同じ色になる場合の数は図Cと共通（選択肢②）で $\color{red}{60}$ 通り。これより、図Dにおける色の塗り方は$$5 \times 4 \times 4 \times 4-60=\color{red}{260}$$となる。（解答欄コ～ス）

（６）

（５）の議論をそのまま利用すると、場合の数について以下の関係が成り立つ。

よって、$$5 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4-260=\color{red}{1020}$$と求められる。（解答欄セ～チ）

$462=2\cdot 3\cdot 7\cdot 11$、$110=2\cdot 5\cdot 11$ より、$462$と$110$の両方を割り切る素数のうち最大のものは$\color{red}{11}$である。（解答欄ア～イ）

以下、$i$と$j$を正の整数として、下図のように赤い長方形を横に$i$枚、縦に$j$枚並べるとする。

正方形を作るとき、辺の長さについて$$462i=110j$$ $$\therefore 21i=5j$$が成り立つことが必要である。$21$と$5$は互いに素であるから、$i$は$5$の倍数、$j$は$21$の倍数であることが必要となる。このような場合で最小の値は $(i,j)=(5,21)$ であるから、このとき正方形の1辺は最小値 $462 \cdot 5 = \color{red}{2310}$ をとる。（解答欄ウ～カ）

次に、赤い長方形を横に$i$枚、縦に$j$枚並べて正方形ではない長方形を作る。ここで、横の長さと縦の長さの差を$d$として方程式$$462i-110j=d$$を考える。左辺は$22$の倍数であるから$d$も$22$の倍数でなければならない。そこで $d=22d^{\prime}$ と置く（$d^{\prime}$は整数）。これより方程式は$$21i-5j=d^{\prime}$$となり、これは $d^{\prime}=1$ のときに整数解 $(i,j)=(1,4)$ をもつ。したがって、$d$が最小となるのは $d=\color{red}{22}$ のときである。（解答欄キ～ク）

また、縦の長さが横の長さよりも$22$だけ長いのは $d^{\prime}=-1$ のときであり、このとき$i$が最も小さい整数解は $(i,j)=(4,17)$ となり、このとき長方形の横の長さは $462 \cdot 4 = \color{red}{1848}$ となる。

下図のように、赤い長方形を縦に$m$枚、横に$x$枚、青い長方形を縦に$n$枚、横に$y$枚並べる。

全体が長方形になるとき、縦の長さが一致しなければならないから、$$110m=154n$$ $$\therefore 5m=7n$$が必要となる。$5$と$7$は互いに素であるから、$m$は$7$の倍数、$n$は$5$の倍数でなければならない。これを満たす最小の整数組は $(m,n)=(7,5)$ であり、このとき縦の長さは$\color{red}{770}$となる。（解答欄ス～ソ）

次に、全体が長方形になるときを考える。$462=2\cdot 3\cdot 7\cdot 11$、$363=3\cdot 11^2$ より、$462$と$363$の最大公約数は$\color{red}{33}$であり、$33$の倍数のうちで$770$（$=2\cdot 5\cdot 7\cdot 11$）の倍数でもある最小の正の整数は$\color{red}{2310}$である。（解答欄タ～ナ）

上記の内容から、作られる正方形の1辺の長さは$2310$の倍数でなければならないことが分かる。そこで、正方形の横の長さについて、$$462x+363y=2310k$$が成り立つ（$k$は正の整数）。この両辺の係数を約分すると$$14x+11y=70k$$となる。これより$y$は$14$の倍数であることが必要で、正の整数$Y$を用いて $y=14Y$ と置ける。よってこの方程式は$$x+11Y=5k$$と書き直すことができる。ここで $x=4$、$Y=1$ のとき $k=3$ となり、このとき辺の長さは最小である。よって求める辺の長さの最小値は$$3\cdot 2310=\color{red}{6930}$$である。（解答欄ニ～ノ）

直線$\mathrm{EH}$が円$\mathrm{O}$の接線であることを証明するには、$$\angle \mathrm{OEH}= \color{red}{90^{\circ}}$$を示せばよい。（解答欄ア～イ）

$\angle \mathrm{OCH}=\angle \mathrm{OGH}=90^{\circ}$ より、4点$\mathrm{C}$、$\mathrm{G}$、$\mathrm{H}$、$\color{red}{\mathrm{O}}$は同一円周上に存在する。よって$\angle \mathrm{CHG}$は対角の外角である$\angle \mathrm{FOG}$に等しいから$$\angle \mathrm{CHG}=\color{red}{\angle \mathrm{FOG}}$$が成り立つ。（解答欄ウ～エ）

また、$\triangle \mathrm{ODG}$が二等辺三角形であることと円周角の定理から$$\angle \mathrm{FOG}=\dfrac{1}{2} \angle \mathrm{DOG}=\color{red}{\angle \mathrm{DEG}}$$が成り立つ。（解答欄オ）

したがって $\angle \mathrm{CHG}=\angle \mathrm{DEG}\,(=\angle \mathrm{CEG})$ より、4点$\mathrm{C}$、$\mathrm{G}$、$\mathrm{H}$、$\color{red}{\mathrm{E}}$は同一円周上に存在する。（解答欄カ）

問題文の手順２の通りに作図すると以下のようになる。ここで、直線$\mathrm{TS}$の延長に点$\mathrm{U}$をとる。

いま、直線$\mathrm{TU}$は点$\mathrm{S}$における円$\mathrm{O}$の接線であるから、接弦定理より$$\angle \mathrm{USQ}=\angle \mathrm{QRS}$$が成り立つ。また、直線$\mathrm{QS}$と直線 $l$ はともに直線$\mathrm{OP}$に対して直交しており互いに平行であるから、同位角の関係より$$\angle \mathrm{USQ}=\angle \mathrm{PTS}$$が成り立つ。したがって、$$\angle \mathrm{PTS}=\color{red}{\angle \mathrm{QRS}}$$が成り立つ。（解答欄キ）

よって、四角形$\mathrm{RPTS}$の外角（$\angle \mathrm{QRS}$）がそれと隣り合う内角の対角（$\angle \mathrm{PTS}$）に等しいことから、4点$\mathrm{R}$、$\mathrm{P}$、$\mathrm{T}$、$\mathrm{S}$が同一円周上に存在することが従う。

また、（１）と同様に$\angle \mathrm{OPT}=\angle \mathrm{OST}=90^{\circ}$ より、4点$\mathrm{P}$、$\mathrm{T}$、$\mathrm{S}$、$\mathrm{O}$は同一円周上に存在することから、点$\mathrm{R}$もこの円周上に存在している。これより、円周角の定理から $\angle \mathrm{ORT}=90^{\circ}$ と分かるので、直線$\mathrm{RT}$は点$\mathrm{R}$における円$\mathrm{O}$の接線である。

以上より、線分$\mathrm{OT}$は3点$\mathrm{O}$、$\mathrm{P}$、$\mathrm{R}$を通る円の直径であるから、円の半径は $\color{red}{\dfrac{3\sqrt{6}}{2}}$ であり、$\triangle \mathrm{ORT}$について三平方の定理から $\mathrm{RT}=\color{red}{7}$ と求められる。（解答欄ク～サ）