27の倍数判定法と81の倍数判定法

今回は27の倍数判定法と81の倍数判定法について取り上げます。

 

 $27$の倍数判定法

2種類の方法を紹介します。

これを繰り返していけば桁が小さくなるので倍数判定が容易になります。例えば $19297035$ が$27$で割り切れることを示すには、以下のようにします。

$1929703-40=1929663$
　↓
$192966-24=192942$
　↓
$19294-16=19278$
　↓
$1927-64=1863$
　↓
$186-24=162$
　↓
　　　　　 　$16-16=0$（←$27$の倍数）

1桁になるまでやる必要はありませんが、この方法を使えば巨大な数でも倍数判定が可能です。この仕組みは以下のように説明できます。

整数$a$、$b$が $a \geqq 1$、$0 \leqq b \leqq 9$ を満たすとして、割られる数を $N=10 \times a+b$ と置きます。この両辺に$8$を掛けると$$\begin{aligned} 8 \times N &=80 \times a+8 \times b \\ &=81 \times a-(a-8 \times b) \\ &=27 \times (3 \times a)-(a-8 \times b)\end{aligned}$$となるので、$a-8 \times b$ が$27$で割り切れるなら右辺は$27$の倍数となるので、$8$と$27$が互いに素であることから、$N$も$27$の倍数であることが従います。

よくある勘違いが$9$の倍数判定法の類推から「各位の数の和が$27$（の倍数）なら$27$の倍数」としてしまうものですが、例えば$73863$は各位の数の和が$27$ですが$27$では割り切れません。

また、次のような倍数判定法もあります。

これは $1000=1+999=1+27 \times 37$ と分けられることから成立します。実用上はこちらの方法が便利ですね。

 

 81の倍数判定法

$81$の倍数判定法も全く同じです。

先ほどと全く同様に割られる数を $N=10 \times a+b$ と置いて両辺に$8$を掛けると$$\begin{aligned} 8 \times N &=80 \times a+8 \times b \\ &=81 \times a-(a-8 \times b) \end{aligned}$$となるので、$a-8 \times b$ が$81$で割り切れるなら右辺は$81$の倍数となるので、$8$と$81$が互いに素であることから、$N$も$81$の倍数であることが従います。

先ほどの結果から、$19297035$は$81$でも割り切れることが分かりますね。

こちらも「各位の数の和が$81$（の倍数）なら$81$の倍数」と考えてしまいがち(？)ですが必要十分ではありません。（反例：$9999899892$）

また、比較的桁の大きな数に対しては次のような倍数判定法も有効です。

これは $10^9 \equiv 1 \pmod{81}$であることを利用した倍数判定法です。これを使えば$$\begin{aligned} & \quad \ 41367419495185388859 \\ &\equiv 41+367419495+185388859 \pmod{81} \\ &= 552808395 \\ &= 81 \times 6824795 \end{aligned}$$と計算できます。

$10^8 \equiv -8 \pmod{81}$であることを利用する次のような方法も考えられますが、やや計算が面倒です。

掛け合わせる $(-8)^{k}$の符号は互い違いになっていればよいので、あまり神経質になる必要はありません。計算は倍数判定法②の方がラクだと思います。

 

---