3乗すると下偶数桁に7272…が現れる自然数

表題の通り、3乗すると下偶数桁に$7272…$という数列が現れる自然数の一覧を掲載しています。

※ 本投稿は「創作整数問題#72」の内容に関するものです。

下$2$桁が$72$となる場合

38 54872
88 681472
138 2628072
188 6644672
238 13481272
288 23887872
338 38614472
388 58411072
438 84027672
488 116214272
538 155720872
588 203297472
638 259694072
688 325660672
738 401947272
788 489303872
838 588480472
888 700227072
938 825293672
988 964430272

（1000以下、計20個）

$k$を非負整数として $n=100k+38$、$100k+88$ のとき、$n^3$の下$2$桁は$72$となります。

下$4$桁が$7272$となる場合

738 401947272
3238 33949277272
5738 188921607272
8238 559068937272
10738 1238141267272
13238 2319888597272
15738 3898060927272
18238 6066408257272
20738 8918680587272
23238 12548627917272
25738 17050000247272
28238 22516547577272
30738 29042019907272
33238 36720167237272
35738 45644739567272
38238 55909486897272
40738 67608159227272
43238 80834506557272
45738 95682278887272
48238 112245226217272
50738 130617098547272
53238 150891645877272
55738 173162618207272
58238 197523765537272
60738 224068837867272
63238 252891585197272
65738 284085757527272
68238 317745104857272
70738 353963377187272
73238 392834324517272
75738 434451696847272
78238 478909244177272
80738 526300716507272
83238 576719863837272
85738 630260436167272
88238 687016183497272
90738 747080855827272
93238 810548203157272
95738 877511975487272
98238 948065922817272

（10万以下、計40個）

$k$を非負整数として $n=5000k+738$、$5000k+3238$ のとき、$n^3$の下$4$桁は$7272$となります。

下$6$桁が$727272$となる場合

165738 4552671150727272
415738 71855359633727272
665738 295059798116727272
915738 767915986599727272
1165738 1584173925082727272
1415738 2837583613565727272
1665738 4621895052048727272
1915738 7030858240531727272
2165738 10158223179014727272
2415738 14097739867497727272
2665738 18943158305980727272
2915738 24788228494463727272
3165738 31726700432946727272
3415738 39852324121429727272
3665738 49258849559912727272
3915738 60040026748395727272
4165738 72289605686878727272
4415738 86101336375361727272
4665738 101568968813844727272
4915738 118786253002327727272
5165738 137846938940810727272
5415738 158844776629293727272
5665738 181873516067776727272
5915738 207026907256259727272
6165738 234398700194742727272
6415738 264082644883225727272
6665738 296172491321708727272
6915738 330761989510191727272
7165738 367944889448674727272
7415738 407814941137157727272
7665738 450465894575640727272
7915738 495991499764123727272
8165738 544485506702606727272
8415738 596041665391089727272
8665738 650753725829572727272
8915738 708715438018055727272
9165738 770020551956538727272
9415738 834762817645021727272
9665738 903035985083504727272
9915738 974933804271987727272

（1000万以下、計40個）

$k$を非負整数として $n=500000k+415738$、$500000k+165738$ のとき、$n^3$の下$6$桁は$727272$となります。

下$8$桁が$72727272$となる場合

8665738 650753725829572727272
33665738 38156138607177872727272
58665738 201908040988526172727272
83665738 585656460869874472727272
108665738 1283151398251222772727272
133665738 2388142853132571072727272
158665738 3994380825513919372727272
183665738 6195615315395267672727272
208665738 9085596322776615972727272
233665738 12758073847657964272727272
258665738 17306797890039312572727272
283665738 22825518449920660872727272
308665738 29407985527302009172727272
333665738 37147949122183357472727272
358665738 46139159234564705772727272
383665738 56475365864446054072727272
408665738 68250319011827402372727272
433665738 81557768676708750672727272
458665738 96491464859090098972727272
483665738 113145157558971447272727272
508665738 131612596776352795572727272
533665738 151987532511234143872727272
558665738 174363714763615492172727272
583665738 198834893533496840472727272
608665738 225494818820878188772727272
633665738 254437240625759537072727272
658665738 285755908948140885372727272
683665738 319544573788022233672727272
708665738 355896985145403581972727272
733665738 394906893020284930272727272
758665738 436668047412666278572727272
783665738 481274198322547626872727272
808665738 528819095749928975172727272
833665738 579396489694810323472727272
858665738 633100130157191671772727272
883665738 690023767137073020072727272
908665738 750261150634454368372727272
933665738 813906030649335716672727272
958665738 881052157181717064972727272
983665738 951793280231598413272727272

（10憶以下、計40個）

$k$を非負整数として $n=50000000k+8665738$、$50000000k+33665738$ のとき、$n^3$の下$8$桁は$72727272$となります。

下$10$桁が$7272727272$となる場合

483665738 113145157558971447272727272
（これ以降、3乗した値は省略します）
2983665738
5483665738
7983665738
10483665738
12983665738
15483665738
17983665738
20483665738
22983665738
25483665738
27983665738
30483665738
32983665738
35483665738
37983665738
40483665738
42983665738
45483665738
47983665738
50483665738
52983665738
55483665738
57983665738
60483665738
62983665738
65483665738
67983665738
70483665738
72983665738
75483665738
77983665738
80483665738
82983665738
85483665738
87983665738
90483665738
92983665738
95483665738
97983665738

（1兆以下、計40個）

$k$を非負整数として $n=5000000000k+483665738$、$5000000000k+2983665738$ のとき、$n^3$の下$10$桁は$7272727272$となります。

ちゃんと証明はしていませんが、原理的には$n^3$の下$2k$桁が$7272…$となるような正の整数$n$は、任意の$k$に対して無数に存在することが言えます。これは数学的帰納法によって証明可能です。

$72$の他にも$11$や$21$、$29$などの数字に対しても同様に、3乗すると下偶数桁がゾロ目になるような整数$n$が無数に存在します。$10$と互いに素であるような2ケタの整数であれば、そのような$n$が無数に構成できます。