3次方程式を経由する連立方程式（近畿大学2018年(医)数学第3問）

解答例

 

（１）

①より$a,b$は同符号である。②より $a+b=c^2+1(>0)$ が成り立つので、$a,b$は正である。

 

（答）$a:+,b:+$

 

 

（２）

③より $c\ne 0$ であるから$$a-b={\displaystyle \frac{2}{c}}$$となる。これと$$a+b=c^2+1$$を連立すると$$\{\begin{array}{l}a={\displaystyle \frac{c^2}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{c}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ b={\displaystyle \frac{c^2}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{c}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\cdots \mathrm{④}$$を得る。よって①より、$$({\displaystyle \frac{c^2}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{c}})({\displaystyle \frac{c^2}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{c}})=6$$ $$\therefore {({\displaystyle \frac{c^2}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2-{\left({\displaystyle \frac{1}{c}}\right)}^2=6$$ $$\therefore {\displaystyle \frac{c^4}{4}}+{\displaystyle \frac{c^2}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{c^2}}=6$$ $$\therefore (c^2{)}^3+2(c^2{)}^2-23(c^2)-4=0$$を得る。ここで $c^2=x$ と置けば、$x$ の3次方程式$$x^3+2x^2-23x-4=0$$を得る。

 

（答）$x^3+2x^2-23x-4=0$

 

 

（３）

$$\begin{array}{rl}f(x)& =x^3+2x^2-23x-4\\ & =(x-4)(x^2+6x+1)\end{array}$$より、3次方程式 $f(x)=0$ の解は$$x=4,-3\pm 2\sqrt{2}$$となる。このうち正の実数解は $x=4$ のみである。

 

（答）1個

 

 

（４）

（３）より $x=c^2=4$ であるから $c=\pm 2$ となる。したがって④より$$(a,b,c)=(3,2,2),(2,3,-2)$$を得る。これらは①、②、③を満たしている。

 

（答）$(a,b,c)=(3,2,2),(2,3,-2)$