36の倍数になる条件（2021年札幌医科大学前期数学第1問(2)）

解答例

$$\begin{array}{rl}N& =(n+2{)}^3-n(n+1)(n+2)\\ & =(n+2)\{(n+2{)}^2-n(n+1)\}\\ & =(n+2)\{(n^2+4n+4)-(n^2+n)\}\\ & =(n+2)(3n+4)\end{array}$$と整理できる。$n$が奇数のとき、$n+2$ と $3n+4$ はともに奇数となるから$N$が$36$の倍数になることはない。よって$n$は偶数であることが必要である。

そこで $n=2k$（$k$は正の整数）と置くと、$$N=4(k+1)(3k+2)$$と表せる。これは$4$の倍数であるから$(k+1)(3k+2)$が$9$の倍数になるような$k$の条件を調べればよい。

$k$が整数のとき $3k+2$ は$3$で割った余りが$2$であるような整数となるから$3$の倍数にならない。よって $k+1$ が$9$の倍数になるとき$N$は$36$の倍数になるから、$k=9l-1$（$l$ は正の整数）と置いて$$n=18l-2$$を得る。この形の式で表されるすべての正の整数$n$が求めるような自然数である。

別解

$n(n+1)(n+2)$は隣接する3つの整数の積であるから、任意の$n$に対して$6$の倍数である。よって$N$が$6$の倍数となるためには、$(n+2{)}^3$もまた$6$の倍数であることが必要となる。これを満たすような自然数$n$は正の整数$k$を用いて$$n=6k-2$$と表せる。これを$N$の式に代入して整理すると、$$N=12k(9k-1)$$となる。$N$が$36$の倍数となるためには$k(9k-1)$が$3$の倍数となる必要があるが、$9k-1$ は$3$の倍数にならない。よって$k$が$3$の倍数となることが必要である。そこで正の整数 $l$ を用いて$$k=3l$$と置くと、$$n=18l-2$$を得る。この形の式で表されるすべての正の整数$n$が求めるような自然数である。