4次方程式の解の公式（Ferrariの解法）

本稿では4次方程式の解の公式、いわゆる「Ferrariの公式」を導出します！

 Ferrariの公式とは

ルドヴィコ･フェラーリ（Ludovico Ferrari:1522～1565）はイタリアの数学者で、3次方程式の解の公式を世界で初めて世間に公表した数学者ジェロラモ･カルダノ（Gerolamo Cardano:1501～1576）の弟子です。

フェラーリはカルダノと一緒に一般的な3次方程式の解法を研究する過程で、4次方程式の解法を発見したとされています。このことから、4次方程式の解の公式には「Ferrariの公式」という名前が付いています。具体的には次のようなものをFerrariの公式と呼んでいます。

それでは、実際に4次方程式の解の公式を導いてみましょう！

 Ferrariの公式の導出

まず、$x$の部分に $x-\dfrac{a}{4}$ を代入すると$x^3$の項が見かけの上で消去できることに着目します。

実際に左辺に代入して計算してみると、以下のようになります。$$\small\begin{align}
& \quad \left(x-\dfrac{a}{4}\right)^4+a\left(x-\dfrac{a}{4}\right)^3+b\left(x-\dfrac{a}{4}\right)^2+c\left(x-\dfrac{a}{4}\right)+d\\\\
&=x^4-ax^3+\dfrac{3}{8}a^2x^2-\dfrac{1}{16}a^3x+\dfrac{1}{256}a^4+ax^3-\dfrac{3}{4}a^2x^2\\
&\quad+\dfrac{3}{16}a^3x-\dfrac{1}{64}a^4+bx^2-\dfrac{1}{2}abx+\dfrac{1}{16}a^2b+cx-\dfrac{1}{4}ac+d\\\\
&=x^4+\left(-\dfrac{3}{8}a^2+b\right)x^2+\left(\dfrac{1}{8}a^3-\dfrac{1}{2}ab+c\right)x\\
&\quad+\left(-\dfrac{3}{256}a^4+\dfrac{1}{16}a^2b-\dfrac{1}{4}ac+d\right)\\\\
\end{align}$$･･･ごちゃごちゃしていますが、ここで大事なことは $x \equiv y-\dfrac{a}{4}$ という置き換えにより元の4次方程式は$$\color{red}{y^4+py^2+qy+r=0}$$という形の方程式に書き直せる、ということです。

この式を$$y^4=-py^2-qy-r$$という形に変形し、$\lambda$をある定数として両辺に $2\lambda y^2+\lambda^2$ を加えると、$$y^4+2\lambda y^2+\lambda ^2=-py^2-qy-r+2\lambda y^2+\lambda ^2$$ $$\therefore (y^2+\lambda )^2=(2\lambda -p)y^2-qy+\lambda ^2-r$$と整理できます。ここで右辺が平方の形に変形できれば (左辺)$-$(右辺) で平方の差になるため、2つの2次式に因数分解できます。あとは2次方程式を解けば4つの解が得られる、という寸法です。

ここで右辺を $(my+n)^2$ という形に変形できるような実数$m$、$n$が存在するための条件は、2次方程式$$(2\lambda -p)y^2-qy+\lambda ^2-r=0$$の判別式$D$について $D=0$ が成り立つことなので、$$q^{2}-4(2 \lambda-p)\left(\lambda^{2}-r\right)=0$$という関係式が成立することが必要条件となります。この関係式は4次方程式の「分解方程式」と呼ばれるものです。分解方程式を$\lambda$について解くことで、$m$および$n$が求められます。

以上から、$$y=\begin{cases} \displaystyle \dfrac{-m\pm\sqrt{m^2-4(\lambda+n)}}{2} \\ \dfrac{m\pm\sqrt{m^2-4(\lambda-n)}}{2} \end{cases}$$となるので、最初の方程式の解は置き換えした部分を元に戻して $x$ に $y+\dfrac{a}{4}$ を代入することで与えられます。

これが「Ferrariの公式」の内容です。この解き方は高校数学の範囲で説明可能なので、言われてみれば「なるほど」という感じがしますよね。

 公式を使ってみる

実際に幾つか例題を解いてみましょう。

この方程式で $\dfrac{a}{4}$ に相当するのは$2$ですから、$y=x-2$ と置いて与式から$x$を消去すると、$$y^{4}+4 y^{2}-32 y-48=0$$となります。これを $y^{4}=\cdots $ の形にすると、$$y^{4}=-4 y^{2}+32 y+48$$となり、分解方程式は$$(-32)^{2}-4(2 \lambda-4)\left(\lambda^{2}+48\right)=0$$ $$\therefore (\lambda-4)\left(\lambda^{2}+2 \lambda+56\right)=0$$となるので $\lambda=4$ を得ます。したがって、$$\begin{aligned}
\left(y^{2}+4\right)^{2} &=y^{4}+8 y^{2}+16 \\
&=\left(-4 y^{2}+32 y+48\right)+8 y^{2}+16 \\
&=4(y+4)^{2}
\end{aligned}$$となり、2つの2次方程式$$
\begin{cases}
y^{2}+4=2(y+4) \\
y^{2}+4=-2(y+4)
\end{cases}
$$を得ます。これをそれぞれ解くと、$$y=1 \pm \sqrt{5}, -1 \pm \sqrt{-11}$$となるので、$x=y+2$ より元の方程式の解は$$\color{red}{x=3 \pm \sqrt{5},\ 1 \pm \sqrt{-11}}$$と求められます。

もう1問解いてみましょう。

$y=x+1$ と置いて与式から$x$を消去すると、$$y^{4}+2 y^{2}-8 y-4=0$$となります。これを $y^{4}=\cdots $ の形にすると、$$y^{4}=-2 y^{2}+8 y+4$$となり、分解方程式は$$8^{2}-4(2 \lambda-2)\left(\lambda^{2}+4\right)=0$$ $$\therefore -8 \lambda^3 + 8 \lambda^2 -32 \lambda + 96=0$$ $$\therefore (\lambda-2)(\lambda^2 +\lambda +6)=0$$となるので $\lambda=2$ を得ます。したがって、$$\begin{aligned}
\left(y^{2}+2\right)^{2} &=y^{4}+4 y^{2}+4 \\
&=\left(-2 y^{2}+8 y+4\right)+4 y^{2}+4 \\
&=2(y+2)^{2}
\end{aligned}$$となり、2つの2次方程式$$
\begin{cases}
y^{2}+2=2(y+2) \\
y^{2}+2=-2(y+2)
\end{cases}
$$を得ます。これをそれぞれ解くと、$$\small y=\dfrac{\sqrt{2} \pm \sqrt{8 \sqrt{2}-6}}{2}, \dfrac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{8 \sqrt{2}+6}\,i}{2}$$となるので、$x=y-1$ より元の方程式の解は$$\small \color{red}{x=\dfrac{-2+\sqrt{2} \pm \sqrt{8 \sqrt{2}-6}}{2}, \dfrac{-2-\sqrt{2} \pm \sqrt{8 \sqrt{2}+6}\,i}{2}}$$と求められます。

2次方程式に還元しているので当たり前なのですが、このように虚数解もちゃんと求めることができています。

 分解方程式の解が複数の場合

4次方程式の中には分解方程式の解が複数存在するものもあります。そのような場合は、得られた解のいずれか一つから計算しやすいものを選びます。例えば次のような問題を解いてみます。

$y=x-3$ と置いて与式から$x$を消去すると、$$y^{4}-5 y^{2}+4=0$$となります。これより$$y^{4}=5 y^{2}-4$$となり、分解方程式は$$0^{2}-4(5+2 \lambda)(\lambda^2-4)=0$$となるので$$\lambda= -\dfrac{5}{2} , \pm 2 $$を得ます。計算しやすいように $\lambda=2$ とすると、$$\begin{aligned}
\left(y^{2}+2\right)^{2} &=y^{4}+4 y^{2}+4 \\
&=\left(5 y^{2}-4\right)+4 y^{2}+4 \\
&=9y^{2}
\end{aligned}$$となり、これは$$(y^2+3y+2)(y^2-3y+2)=0$$ $$\therefore (y+2)(y+1)(y-2)(y-1)=0$$と因数分解できます。これより、$$y=-2,-1,\,1,\,2$$となるので、$x=y+3$ より与方程式の解は$$\color{red}{x=1,\,2,\,4,\,5}$$と求められます。

（※）これは実際に$$\begin{align}& \quad x^4-12x^3+49x^2-78x+40 \\ &=(x-1)(x-2)(x-4)(x-5) \end{align}$$と因数分解できることからも正しく求められていることが分かります。

（2022/07/18：誤植、式変形の一部を修正）
（2022/10/31：誤植を修正）