5乗根の和に関する問題（藤田医科大学2017年数学第3問）

解答例

（１）

$$\begin{array}{rl}\alpha \beta & =\sqrt[5]{{\displaystyle \frac{5\sqrt{5}+11}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{5\sqrt{5}-11}{2}}}\\ & =\sqrt[5]{{\displaystyle \frac{125-121}{4}}}\\ & =\sqrt[5]{1}\\ & =1\cdots (\text{答})\end{array}$$

（２）

（１）より $\beta ={\displaystyle \frac{1}{\alpha }}$ であるから、$$\begin{array}{rl}\alpha -\beta -1& =\alpha -{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}-1\\ & ={\displaystyle \frac{{\alpha }^2-\alpha -1}{\alpha }}\end{array}$$となる。$\alpha >0$ より $\alpha -\beta -1$ の符号は ${\alpha }^2-\alpha -1$ の符号に一致する。$\alpha >0$ のとき ${\alpha }^2-\alpha -1$ は $\alpha ={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}$ の前後で符号が変わるので、$\sqrt[5]{{\displaystyle \frac{5\sqrt{5}+11}{2}}}$ と ${\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}$ の大小を比較すればよい。

ここで、$${\left({\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}\right)}^5={\displaystyle \frac{5\sqrt{5}+11}{2}}$$であるので、$$\sqrt[5]{{\displaystyle \frac{5\sqrt{5}+11}{2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{5}+1}{2}}$$が成り立つ。したがって$${\alpha }^2-\alpha -1=0$$となるから、$$\alpha -\beta -1=0$$と判る。

（答）$0$

（２）別解

$$\{\begin{array}{l}{\alpha }^5+{\beta }^5=5\sqrt{5}\cdots \mathrm{①}\\ {\alpha }^5-{\beta }^5=11\cdots \mathrm{②}\end{array}$$であり、②より、$$(\alpha -\beta )\left(\underset{―}{{\alpha }^4+{\alpha }^3\beta +{\alpha }^2{\beta }^2+\alpha {\beta }^3+{\beta }^4}\right)=11$$を得る。ここで下線部は$${\alpha }^4+{\beta }^4+\alpha \beta ({\alpha }^2+{\beta }^2)+{\alpha }^2{\beta }^2$$と変形できるが、$\alpha \beta =1$ より$${\alpha }^4+{\beta }^4+({\alpha }^2+{\beta }^2)+1$$となる。ここで $t=\alpha -\beta (>0)$ と置くと、$$\begin{array}{rl}{\alpha }^2+{\beta }^2& =(\alpha -\beta {)}^2+2\alpha \beta \\ & =t^2+2\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{\alpha }^4+{\beta }^4& ={({\alpha }^2+{\beta }^2)}^2-2{\alpha }^2{\beta }^2\\ & ={(t^2+2)}^2-2\\ & =t^4+4t^2+2\end{array}$$と表せるから、下線部は $t^4+5t^2+5$ となる。よって、$$t(t^4+5t^2+5)=11$$ $$\therefore t^5+5t^3+5t-11=0$$ $$\therefore (t-1)(t^4+t^3+6t^2+6t+11)=0$$と式変形できる。$t>0$ であるからこの方程式の解は $t=1$ に限られ、$$\alpha -\beta =1$$を得る。したがって、$$\alpha -\beta -1=0$$と判る。