n^4=1+210m^2の整数解（2022年九州大学理系数学第3問）

解答例

 

（１）

$\mathrm{①}$より$n^4$は奇数であるから、$n$は奇数であり、$n^2$も奇数である。よって、${\displaystyle \frac{n^2+1}{2}}$、${\displaystyle \frac{n^2-1}{2}}$ は整数であり、その差は$1$であるから互いに素である。

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（２）

方程式$\mathrm{①}$は$$\begin{array}{}\text{･･･②}& n^4-1=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot m^2\end{array}$$と変形できる。

 

ここで整数$n$について、$n^2$と$n^4$を$8$で割った余りを、$n$を$8$で割った余りで分類すると以下の表のようになる。$$\begin{array}{ccccccccc}n& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7\\ n^2& 0& 1& 4& 1& 0& 1& 4& 1\\ n^4& 0& 1& 0& 1& 0& 1& 0& 1\end{array}$$いま、$n$は奇数であるから $n^4-1$ は$8$の倍数となる。$\mathrm{②}$より、$m^2$は$4$の倍数であることが必要だから$m$は偶数である。そこで $m=2M$ と置くと$\mathrm{②}$は$$\begin{array}{}\text{･･･③}& {\displaystyle \frac{n^2+1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{n^2-1}{2}}=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot M^2\end{array}$$と書き直せる。

 

ここで整数$n$について、$n^2$を$3$で割った余りを、$n$を$3$で割った余りで分類すると以下の表のようになる。$$\begin{array}{cccc}n& 0& 1& 2\\ n^2& 0& 1& 1\end{array}$$よって $n^2+1$ が$3$の倍数となることはないから、$n^2-1$ が$3$の倍数となる。

 

同様に$n^2$を$7$で割った余りを、$n$を$7$で割った余りで分類すると以下の表のようになる。$$\begin{array}{cccccccc}n& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ n^2& 0& 1& 4& 2& 2& 4& 1\end{array}$$よって $n^2+1$ が$7$の倍数となることはないから、$n^2-1$ が$7$の倍数となる。

 

以上より、$n^2-1$ は$3$の倍数かつ$7$の倍数かつ$8$の倍数であるから、$168$の倍数である。よって示された。

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（３）

（２）の結論より、正の整数$k$を用いて $n^2=168k+1$ と置けるから、$\mathrm{③}$は$${\displaystyle \frac{168k}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{168k+2}{2}}=210M^2$$ $$\begin{array}{}\text{･･･④}& \therefore 2k(84k+1)=5M^2\end{array}$$と書き直せる。これより、$k\equiv 0,1(\mathrm{mod}5)$ が必要であることが分かるので、この制約の下で$\mathrm{④}$の解となる$k$と$M$の組を探せばよい。

 

$k=1$ のとき $2\cdot 17=M^2$ となり、これを満たすような整数$M$は存在しない。

 

$k=5$ のとき $2\cdot 421=M^2$ となり、これを満たすような整数$M$は存在しない。

 

$k=6$ のとき $12\cdot 101=M^2$ となり、これを満たすような整数$M$は存在しない。

 

$k=10$ のとき $2^2\cdot {29}^2=M^2$ となり、$M=58$ を得る。

 

これより$$n^2=1681$$ $$\therefore n=41$$を得るので、$$(m,n)=(116,41)$$は求める解の一つである。