n^4=1+210m^2の整数解（2022年九州大学理系数学第3問）

解答例

 

（１）

$①$より$n^{4}$は奇数であるから、$n$は奇数であり、$n^2$も奇数である。よって、$\dfrac{n^{2}+1}{2}$、$\dfrac{n^{2}-1}{2}$ は整数であり、その差は$1$であるから互いに素である。

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（２）

方程式$①$は$$n^4-1=2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot m^2 \tag*{･･･②}$$と変形できる。

 

ここで整数$n$について、$n^2$と$n^4$を$8$で割った余りを、$n$を$8$で割った余りで分類すると以下の表のようになる。$$\begin{array}{c|cccccccc}
n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\
\hline n^{2} & 0 & 1 & 4 & 1 & 0 & 1 & 4 & 1 \\
n^{4} & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1
\end{array}$$いま、$n$は奇数であるから $n^4-1$ は$8$の倍数となる。$②$より、$m^2$は$4$の倍数であることが必要だから$m$は偶数である。そこで $m=2M$ と置くと$②$は$$\dfrac{n^{2}+1}{2} \cdot \dfrac{n^{2}-1}{2}=2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot M^2 \tag*{･･･③}$$と書き直せる。

 

ここで整数$n$について、$n^2$を$3$で割った余りを、$n$を$3$で割った余りで分類すると以下の表のようになる。$$\begin{array}{c|ccc}
n & 0 & 1 & 2 \\
\hline n^{2} & 0 & 1 & 1
\end{array}$$よって $n^2+1$ が$3$の倍数となることはないから、$n^2-1$ が$3$の倍数となる。

 

同様に$n^2$を$7$で割った余りを、$n$を$7$で割った余りで分類すると以下の表のようになる。$$\begin{array}{c|ccc}
n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline n^{2} & 0 & 1 & 4 & 2 & 2 & 4 & 1
\end{array}$$よって $n^2+1$ が$7$の倍数となることはないから、$n^2-1$ が$7$の倍数となる。

 

以上より、$n^2-1$ は$3$の倍数かつ$7$の倍数かつ$8$の倍数であるから、$168$の倍数である。よって示された。

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（３）

（２）の結論より、正の整数$k$を用いて $n^2=168k+1$ と置けるから、$③$は$$\dfrac{168k}{2}\cdot \dfrac{168k+2}{2}= 210M^2$$ $$\therefore 2k(84k+1)= 5M^2 \tag*{･･･④}$$と書き直せる。これより、$k \equiv 0,\,1 \pmod{5}$ が必要であることが分かるので、この制約の下で$④$の解となる$k$と$M$の組を探せばよい。

 

$k=1$ のとき $2 \cdot 17=M^2$ となり、これを満たすような整数$M$は存在しない。

 

$k=5$ のとき $2 \cdot 421=M^2$ となり、これを満たすような整数$M$は存在しない。

 

$k=6$ のとき $12 \cdot 101=M^2$ となり、これを満たすような整数$M$は存在しない。

 

$k=10$ のとき $2^2 \cdot 29^2=M^2$ となり、$M=58$ を得る。

 

これより$$n^2=1681$$ $$\therefore n=41$$を得るので、$$(m,n)=\color{red}{(116,41)}$$は求める解の一つである。